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Etude d'une translation
Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
ABC est un triangle. I, J et K désignent les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
G est le centre de gravité du triangle ABC et on note t la translation de vecteur .
1. Translation et parallélogrammes
a) Reproduire la figure et construire les points A', B', C' image respectifs de A, B, C par la translation t.
b) AA'B'B est un parallélogramme, pourquoi ? Citer un autre parallélogramme de la figure.
2. Triangles isométriques
Démontrer que les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques. Énoncer précisément les propriétés de la translation t
utilisées.
3. Translation et centre de gravité
a) Construire les images respectifs I', J', K' des points I, J, K. Que dire de ces points?
b) Démontrer que l'image G' du point G par t est le centre de gravité du triangle A'B'C'.
Je suis arrivée à la question 1b.
Merci d'avance !
Pour la question 2 je propose :
t est la translation de vecteur BC.
t(A)=A', t(B)=B' et t(C)=C'. Donc t(ABC)=A'B'C'
Une translation est une isométrie et deux triangles sont isométriques lorsque l'un est l'image de l'autre par une isométrie.
Dons les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.
Pour la question 3a, j'ai fait la construction, mais je ne vois pas ce qu'on peut dire de ces points...
A'G' + B'G' + C'G'
= A'A + AG + GG' + B'B + BG + GG' + C'C + CG + GG'
...... or AA' = BB' = CC' = GG' = BC
= AG + BG + CG
............ or G centre de gravité de ABC
= ??
...
Je ne comprend pas comment vous passez de cela A'G' + B'G' + C'G' à A'A + AG + GG' + B'B + BG + GG' + C'C + CG + GG' ...
Donc :
A'G' + B'G' + C'G'
= A'A + AG + GG' + B'B + BG + GG' + C'C + CG + GG'
= A'A + AG + B'B + BG + C'C + CG + 3GG' or AA' = BB' = CC' = GG' = BC
= -3GG' + AG + BG + CG + 3GG'
= AG + BG + CG
Après cela je ne vois pas quoi faire...
Merci.
D'accord, et en quoi cela nous montre que l'image G' du point G par t est le centre de gravité du triangle A'B'C' ...?
Merci.
car
A'G' + B'G' + C'G'
= ...
= ...
= 0
c'est la déf du barycentre => G' bary de (A'; 1) (B'; 1) (C'; 1)
...
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