il faut tout simplement faire une identification...

f(x) = (x²-4x +5) / (x-2)          Df = /{2}

f(x) = ax+b+(c/(x-2))
f(x) = [ax(x-2)+b(x-2)+c]/(x-2)
f(x) = (ax²-2ax+bx-2b+c) / (x-2)
f(x) = [ax²+(-2a+b)x-2b+c] / (x-2)
Par identification :
a = 1                       a = 1
-2a+b = -4             b = -2
-2b+c = 5               c = 1

f(x) = x - 2 + 1/(x-2)

sauf erreurs de calcul...
a+

pour comparer...

les variations de ta fonction , jai trouvé :
_ f croissante sur ]-;1][3;+[
_ f décroissante sur [1;3]

voila...
a+  

Pour les variations de f(x), ce n'est pas juste.

f(x)= (x²-4x +5) / (x-2)  
Df = R/{}

f '(x) = ((2x-4)(x-2)-x²+4x-5)/(x-2)²
f '(x) = (2x²-8x+8-x²+4x-5)/(x-2)²
f '(x) = (x² - 4x + 3)/(x-2)²
f '(x) = (x-1)(x-3)/(x-2)²

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 1[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1
f '(x) < 0 pour x dans ]1 ; 2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) n'existe pas pour x = 2
f '(x) < 0 pour x dans ]2 ; 3[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 3
f '(x) > 0 pour x dans ]3 ; oo[ -> f(x) croissante.

Il y a un max de f(x) pour x = 1.
Il y a un min de f(x) pour x = 3

lim(x-> 2-) f(x) = -oo
lim(x-> 2+) f(x) = +oo
La droite d'équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe
représentant f(x)

f(x) = (x - 2) + 1/(x-2)
lim(x> +/- oo) 1/(x-2) = 0
Et donc la droite d'équation y = x - 2 est asymptote oblique à
la courbe représentant f(x) aussi bien du coté des x négatifs que
du coté des x positifs.

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Sauf distraction.

merci à vous ! la question 1 c'est bon, je suis sur de ce que
j'ai mis donc ça va....et apparement c pareil que ce que vous
avez trouvé... pour la 2, je vais essayer de comprendre encore un
peu merci !

ah oui !!
j'oublie tout le temps dans les variations d'enlever la valeur interdite
du tableau... ca arrive souvent... lol (trouble psychique peut etre...)
merci J-P de m'avoir repris
a+