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étude de fcts 1ereS
bonjour, pourriez vous m'aider SVP :s
Soit la fonction f définie sur R-{-2 ; 5} par f(x) = (x² + x - 6) / (x²-3x-10).
1) Montrer que, pour tout x de R-{-2 ; 5}, f(x) peut s'écrire sous la forme f(x) = a + b/(x+2) + c/(x-5), où a, b et c sont des réels à déterminer.
2) Etudier les variations de f ; dresser son tableau de variation. On précisera les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3) Soit C la courbe représentative de f, dans un repère orthonormal (O, i , j ) d'unité 1cm.
a) Montrer que C possède 3 asymptotes dont on donnera une équation.
b) Etudier la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale. Préciser en particulier les coordonnées du point I, où C coupe son asymptote horizontale.
c) Déterminer l'équation réduite de la droite de la droite T, tangente à C au point I.
d) T coupe C en un point J. Déterminer les coordonnées de J.
e) Construire C, T et les 3 asymptotes à C.
merci bcp !
Bonjour Emma13
1.
Pour trouver a, b et c, on réduit au meme dénominateur a + b/(x+2) + c/(x-5)et on identifie avec (x² + x - 6) / (x²-3x-10).
On a:
a=1
-3a+b+c=1
-10a-5b+2c=-6
d'où
a=1
b+c=4
-5b+2c=4
donc en resolvant, on a:
7c=24 => c=24/7
et b=4/7
Sauf erreur 
salut
f(x) = a + b/(x+2) + c/(x-5)
=[a(x+2)(x-5) +b(x-5)+c(x+2)]/(x+2)(x-5)
=(ax²-3ax-10a+bx-5b+cx+2c)/(x+2)(x-5)
=(ax²+x(-3a+b+c)-10a-5b+2c)/(x+2)(x-5)
on a f(x) = (x² + x - 6) / (x²-3x-10).
d'ou a=1
-3a+b+c=1
-10a-5b+2c=-6
resoud le systeme et determine a,b et c
f est dérivable sur R-{-2 ; 5}, donc pour tout x de sur R-{-2 ; 5}, on a en utilisant la formule (u/v)'=... et en simplifiant:
Or sur R-{-2 ; 5}, -4x^2-8x-28 < 0
donc f'(x) < 0
d'où
x -oo -2 5 +oo
-------------------------------------------------------------
f'(x) - || - || -
--------------------------------------------------------------
f decr. decr. decr.
Oui ! J'avais trouvé ça ! pr les asymptotes, j'ai :
2 verticales : -2 et 5
1 horiz : 1
mais cmt justifier? et pr le reste de l'exo jss perdue 
Avec les limites en +oo et -oo, on en déduit que la droite y=1 est asymptote horizontale à C.
Limites en -2+ et -2- :
car x²-3x-10=(x-5)(x+2)
donc
et de meme
donc la droite x=-2 est asymptote verticale à C .
2) Etudier les variations de f
f'(x)=[(x² + x - 6) / (x²-3x-10)]'
=[(2x+1)(x²-3x-10)-(2x-3)(x² + x - 6)]/(x²-3x-10)²
=(2x^3-6x²-20x+x²-3x-10-2x^3-2x²+12x+3x²+3x-18)/(x²-3x-10)²
=(-4x²-8x-28) /(x²-3x-10)²
=4(-x²-2x-7)//(x²-3x-10)²
Limites en 5- et 5+ :
car x²-3x-10=(x-5)(x+2)
donc
et de meme
donc la droite x=5 est asymptote verticale à C
3.a.
Les 3 asyptotes de c sont :
y=1
x=5
x=-2.
3.b.
Pour étudier la position de C et de so asymptote horizontale, on va étudier le signe de leur difference: f(x)-1.
On a:
donc en faisant un tableau de signe on a:
x -oo -2 -1 5 +oo
------------------------------------------------------------
x+1 - - 0 + +
----------------------------------------------------------
x+2 - 0 + + +
-----------------------------------------------------------
x-5 - - - 0 +
------------------------------------------------------------
f(x)-1 - || + 0 - || +
donc C est au dessus de sa tangente horizontale pour x dans ]-2,-1]U]5,+oo[
et est au dessous pour x de ]-oo,-2[U[1,5[
C coupe donc sa tangente au point I d'abscisse -1 et donc I(-1,1).
Sauf erreur
3.c.
La tangente au point I a pour equation:
y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
donc
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