Tu as intérêt à bien relire tes cours.

1)
Df = R /{0} car 1/x n'existe pas pour x = 0
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2)
lim(x-> -oo) f(x) = -oo
lim(x-> +oo) f(x) = +oo
il n'y a pas d'asymptotes horizontales.

lim(x-> 0-) f(x) = -oo
lim(x-> 0+) f(x) = +oo
La droite x  0 est asymptote verticale à la courbe représentant f(x)

lim(x-> +/-oo) (f(x)/x) = +oo
il n'y a pas d'asymptotes obliques.
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3)
f(-x) = -x³ - 2x - (1/x) - 2

On n'a ni f(-x) = f(x), ni f(-x) = -f(x)
-> f n'est ni paire ni impaire.
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4 et 5)
f '(x) = 3x² + 2 - (1/x²)
f '(x) = (3x^4 + 2x² - 1)/x²
En posant x² = t   (t >= 0) ->
(3x^4 + 2x² - 1)/x² = (3t² + 2t - 1)/t
= (t+1)(3t-1)/t

f '(x) = (x²+1)(3x²-1)/x²
f '(x) = (x²+1)((V3)x - 1)((V3)x + 1) / x²

(x²+1)/x² > 0 dans Df -> f '(x) a le signe de ((V3)x - 1)((V3)x + 1)

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1/V3[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = -1/V3
f '(x) < 0 pour x dans ]-1/V3 ; 0[ -> f(x) décroissante.
f '(x) n'existe pas pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1/V3[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/V3
f '(x) > 0 pour x dans ]1/V3 ; oo[ -> f(x) croissante.

Il y a un maximum de f(x) pour x = -1/V3, ce max vaut f(-1/V3) = -5,079...
< 0

Il y a un minimum de f(x) pour x = 1/V3, ce min vaut f(1/V3) = 1,079201436
> 0

-----
6)
f(0) n'existe pas
-> Il n'y a pas d'intersection de la courbe représentant f(x)
avec l'axe des ordonnées.
--
f(x) = 0 pour x^3 + 2x +(1/x)-2 = 0
Cela est impossible d'après le tableau de variation de f(x).
-> La courbe représentant f(x) n'a pas d'intersection avec
l'axe des abscisses.
------
Sauf distraction.

  encore quelques petites questions toujours sur la l'etude de
fonction

soit f(x)= x/(x²+1)

l'ensemble de definition est df= R
donner les equations des asymptots si elles existent ca sa va
parite je suis pas certains
fonction derivee j'i arrive determiner son signe pas du tout
le tableau de variation je n'i arrive pas
l'intersection avec l'axe des coordonnes la bon je peux pas le faire sens le
reste au dessus

on me demande ensuite de representer graphiquement sur l'intervalle
[ -4 ; 4]

que dois je faire pour determiner les points reprendre l'expression
de f(x)  ??

Bonjour

Pour la parité :
si x ,
alors -x

et

f(-x) = -x/((-x)²+1)
= - f(x)

La fonction f est impaire. La courbe représentative de la fonction f
sera symétrique par rapport à l'origine du repère.


Pour la dérivée :
f est dérivable sur et :
f '(x) = [(x² + 1) - 2x x] / (x² + 1)²
= [x² + 1 - 2x²] / (x² + 1)²
= (-x² + 1) / (x² + 1)²
= (1-x)(1+x) / (x² + 1)²

Pour l'étude du signe de la dérivée :
(x² + 1)² est toujours positif.
f ' est donc du signe de (1-x)(1+x).

Sauf erreur de ma part, je te laisse faire l'étude de signe.

En principe, tu devrais trouver :
f décroissante sur ]- ; -1] et [1; +[
et
f croissante sur [-1; 1].


La courbe coupe l'axe des abscisses en un seul point : l'origine.

Voilà, bon courage ...

Pour compléter.

Recherche des asymptotes:
lim (x-> +/- oo) [x/(x²+1)] = 0

Et donc la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à
la courbe représentant f(x) aussi bien du coté des x négatifs que
du coté des x positifs.

Il n'y a ni asymptotes verticales ni asymptotes obliques.