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Etude de fonctions trigonometriques
hello je coince sur cet exercice
Dans un plan muni d'un repere orthogonal (O,i,j) on considere le cercle trigonometrique U de centre O.
Soit x un nbre réel tel que 0<x<
/2
1. Soit M le pt de U tel que x est une mesure de (OI,OM). On designe par T le point dintersection de la droite (OM) et de la tangente en I au cercle U.
a/ Comparer les aires des triangles OIM, OIT et du secteur circulaire IOM
b/ En deduire cos(x)
sin(x)/x1
2. Soit x1 un nbre réel tel que -/2<x1<0
En posant 1=-x et en utilisant le resultat de la question 1. demontrer que cos(x)sin(x1)/x11
3. Conjecturer que : lim de x qui tend vers 0 de sin(x)/x = 1
4. En admettant le resultat precedent demontrer que le nbre derivé en 0 de la fonction sinus est 1
Merci de votre aide...
Bonjour djkay!
Calculons les aires suggérées par la donnée.
Le triangle OIT est rectangle en I. ||OI||=1 et ||IT||=tan(x). A(triangle OIT)=tan(x)/x
Pour calculer l'aire du triangle OIM j'utilise la heuteur issue de M et la base ||OI||=1. La hauteur vaut sin(x) et donc A(triangle OIM)=sin(x)/2
Le secteur circulaire IOM a un angle de x, donc A(sc IOM)=x/2
Puis en regardant sur le dessin tu seras d'accord avec moi que
(triangle OIM)A(sc IOM)A(triangle OIT)
On a donc
ou encore
.
Maintenant il suffit d'arranger les termes. Ne pas oublier que cos(x) et sin(x) ne peuvent pas être négatifs car on a pris 0
(2) Il suffit de voir que x1<0, tan(x1)<0, sin(x1)<0. Tu peux faire le même dessin qui sera symétrique au mien et tu verras que l'équation reste vraie.
(3) Tu sais que cos(0)=1, il suffit de l'utiliser avec les deux inéquations. reste coincé "en sandwich" entre deux valeurs qui valent 1.
(4) D'après la définition de la dérivée, on a
Je te laisse conclure.
Isis
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