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etude des variations de fonction

Posté par jerome57 (invité) 03-03-04 à 11:53

bonjour j'ai besoin d'une petite aide        
Dans le cas d'une poutre de section rectangulaire de largeur x d'épaisseur
h , encastrée a ses extrémités , la résistance w à la flexion est
proportionnelle à x et au carré deh .cad que w=kxh2 ou k est une
constante positive qui dépend du matériau . on désire équarrir un
tronc de chene dont la section est circulaire de diamètre 40 cm.on
se prpose de déterminer x et h pour que la résistance de la poutre
obtenue soit maximale.

1.monterz que l'on a w=k (1600x-x3).
2 .etudier les variations de la fct définie sur l'inter 0,40 par
x associe k(1600x-x3).
en déduire les dimensions optimales a donner à la  section.
Merci de bien voulioi m'aider je ne comprends pas bien l'exo
                                          

Posté par Guillaume (invité)re : etude des variations de fonction 03-03-04 à 12:25

Le tronc est circulaire , on veut tailler dedans un rectangle.
(ca veut dire que les 4 sommets du rectangle sont sur le cercle)
si tu fais un schéma tu vois que les dimensions x et h de ce rectangle
sont liées.

pythagore te donne: (fais un schéma):
(40/2)²=(h/2)²+(x/2)²
soit
h²=1600-x²

alors w=kxh²=kx(1600-x²)=k(1600x-x3) ce qu'on voulait!


la dérivée vaut w'=k(1600-3x2)
elle s'annule en 3x²=1600 soit x²=1600/3 soit x=40/rac(3)
entre 0 et 40/rac(3) elle est positif, la fonction croit (donc la resistance
aussi)
entre 40/rac(3)et 40 est negative, la resistance diminue.

La resistance est donc max pour x=40/rac(3)
alors
h²=1600-x2=1600-1600/3=(2/3)1600=3200/3
et h=rac(3200/3)

voila,
A+

Posté par jerome57 (invité)re : etude des variations de fonction 03-03-04 à 15:43

merci beaucoup , guillaume



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