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Exercice 2 du concours de math

Posté par
emmanuel2002
16-04-18 à 19:10

Rebonjour voici l'exercice suivant que je n'ai pas pu traiter :
                         Partie A
Si x est un nombre réel, le seul nombre réel dont le cube est égal à x s'appelle la racine cubique de x et de note \sqrt[3]{x}.
Par exemple \sqrt[3]{1000} = 10 , \sqrt[3]{8}= 2.
On pose
                                        A = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}
Montrer que A est un nombre entier.
Merci de m'aider.

Posté par
sanantonio312
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 19:19

Bonjour,
Une idée comme ça: calcule a3

Posté par
sanantonio312
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 19:19

Oups, A3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 19:38

Posté par
sanantonio312
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:04


Je n'aurais pas dû?
Ou l'idée est saugrenue.

Posté par
lake
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:08

Bonjour,

L'idée est très bonne; on montre que:

A^3=-3A+4

Posté par
sanantonio312
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:13

Bonsoir lake.
C'est ce que je pensais, mais j'ai interprété le smiley de Sylvieg, que je salue au passage, comme l'indication que j'en avais trop fait.
Ce que je reproche à certains parfois.
Mais peut-être suis-je parano...

Posté par
carpediem
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:14

salut

bien sur que ça marche .... avec un peu de réflexion ...

les connaisseurs reconnaîtront bien sur les formules de Cardan par application bête et méchante de ces formules à une équation du troisième degré du type x^3 + px + q = 0 (et qui n'admet qu'une unique racine réelle ... voir la théorie)

soit x = \sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} - \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2} = a - b

alors x^3 = (a - b)^3 = a^3 - b^3  - 3ab(a - b) = 4 - 3x

donc x^3 + 3x - 4 = 0 et 1 est trivialement racine

Posté par
lake
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:16

Ici, suggérer le calcul de A^3 est vraiment une indication minimale.
Finalement, c'est moi qui en ai trop dit

Posté par
lake
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:17

Ah non, c'est carpediem

Posté par
sanantonio312
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:17

Bah, emmanuel2002 n'est pas très actif sur son post.

Posté par
carpediem
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:26

lake @ 16-04-2018 à 20:16

Ici, suggérer le calcul de A^3 est vraiment une indication minimale.
Finalement, c'est moi qui en ai trop dit
c'est même une évidence ...

j'ai interprété le retour de sana comme une désillusion ... c'est pourquoi j'en ai dit plus ...

désolé

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 16-04-18 à 20:49

Désolée, mon smiley était à prendre au premier degré

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 07:45

Bonjour,
J'avais cherché dans d'autres directions, sans succès.
Quand j'ai compris que "l'idée comme ça" de sanantonio312 était la bonne, j'étais pressée...
Pour faire oublier ma malencontreuse concision, je propose un autre entier :

B = \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}} + \sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}

Posté par
lake
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 08:34

Bonjour Sylvieg,

Je tombe avec "l'idée comme ça" sur (B-3)(B^2+3B+6)=0

Posté par
Pirho
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 08:48

Bonjour,

m... lake a été plus rapide que moi, mais je trouve la même chose.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 09:21

Bravo à tous les deux ( j'évite le smiley ).
J'étais tombée dessus en cherchant à utiliser a3- b3.

En fait, les deux peuvent se généraliser :

\sqrt[3]{\sqrt{b^2+1}+b} - \sqrt[3]{\sqrt{b^2+1}-b} et  \sqrt[3]{a+\sqrt{a^2-1}} + \sqrt[3]{a-\sqrt{a^2-1}} .

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 10:06

Ben alors Sylvieg, tu fais passer notre sanantonio312 par toutes les couleurs ? ! .....
Bonne journée à tous

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 10:43

Il y a une justice : C'est à mon tour de passer par toutes les couleurs...
Mon message de 9h21 est faux

Posté par
emmanuel2002
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 14:44

bonjour à vous .

Posté par
emmanuel2002
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 14:45

carpediem @ 16-04-2018 à 20:14

salut

bien sur que ça marche .... avec un peu de réflexion ...

les connaisseurs reconnaîtront bien sur les formules de Cardan par application bête et méchante de ces formules à une équation du troisième degré du type x^3 + px + q = 0 (et qui n'admet qu'une unique racine réelle ... voir la théorie)

soit x = \sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} - \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2} = a - b

alors x^3 = (a - b)^3 = a^3 - b^3  - 3ab(a - b) = 4 - 3x

donc x^3 + 3x - 4 = 0 et 1 est trivialement racine


Hum je ne comprends pas trop la démarche .
Puis je avoir plus de précision ?
Merci.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 17-04-18 à 17:46

Bonjour,
As-tu compris ceci :  x^3 = (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 18-04-18 à 14:03

Bonjour,
emmanuel2002, si tu veux qu'on puisse t'aider, précise ce qui t'échappe.

A = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}
La démarche consiste à démontrer que A est solution de l'équation x3 + 3x - 4 = 0 .
Puis que 1 est l'unique solution de cette équation, pour en déduire A = 1 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 19-04-18 à 08:43

Bonjour,
Pour les curieux, j'ai tenté d'améliorer les formules d'il y a deux jours.
n est un entier naturel.

Avec a = \frac{n(n^2+3)}{2} , \sqrt[3]{\sqrt{a^2+1}+a} - \sqrt[3]{\sqrt{a^2+1}-a} est un entier.

Avec a = \frac{n(n^2-3)}{2} et n\geq 2 ,  \sqrt[3]{a+\sqrt{a^2-1}} + \sqrt[3]{a-\sqrt{a^2-1}} est un entier.

Pensez-vous possible de le démontrer sans passer par « l'idée comme ça » ?

Posté par
carpediem
re : Exercice 2 du concours de math 19-04-18 à 09:47

je ne sais pas mais comme je l'ai dit plus haut il me semble que a se déduit tout simplement de pet q et les formules de Cardan pour résoudre l'équation x^3 + px + q = 0 ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 22-04-18 à 09:06

D'accord carpediem ; mais je rêvais que quelqu'un réussisse à faire apparaître sous les racines cubiques deux cubes similaires genre ( N/2 + )3 et ( N/2 - )3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 22-04-18 à 09:25

Finalement, de l'avoir un peu formalisé, m'a décoincée.
Pour l'énoncé initial :

(\frac{1}{2}\pm \sqrt{5})^{3}   =  {2\pm \sqrt5}

Posté par
carpediem
re : Exercice 2 du concours de math 22-04-18 à 09:32

ça m'étonnerait ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 22-04-18 à 11:11

Une coquille : (\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2})^{3}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice 2 du concours de math 22-04-18 à 15:05

Bref, pour l'énoncé initial avec A = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} :

On écrit \sqrt{5}\pm2 sous forme d'un cube : \sqrt{5} \pm 2 = ( \frac{\sqrt{5}}{2} \pm \frac{1}{2} )^{3}

On en déduit   A = \frac{\sqrt{5}}{2} +\frac{1}{2} - ( \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2})  = 1



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