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Exercice arithmétique

Posté par
pvsnp
03-06-17 à 15:18

1/ En utilisant le théorème de Fermat montrer que 1061[7]
2/ En déduire que (p*) 106p1+7p[49]
Veuillez m'aider s'il vous plaît je n'arrive pas à démontrer la deuxième question

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice arithmétique 03-06-17 à 16:11

Bonjour

Formule du binôme de Newton

Posté par
pvsnp
re : Exercice arithmétique 03-06-17 à 16:14

Bonjour,
Peux tu préciser un peu plus ? Parce que je ne vois pas comment je pourrais l'utiliser

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice arithmétique 03-06-17 à 16:16

Tu écris (1+7p)^6

Posté par
pvsnp
re : Exercice arithmétique 03-06-17 à 16:25

Toujours pas compris :/

Posté par
pvsnp
re : Exercice arithmétique 03-06-17 à 16:26

Comment on va passer de la congruence modulo 7 à la congruence modulo 49 ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice arithmétique 03-06-17 à 16:35

10^6=1+7k

10^{6p}=1+7kp+\cdots+\begin{pmatrix} m\\ k\end{pmatrix}(7k)^m+\cdots+(7k)^p

... et p\geq 2

Posté par
flight
re : Exercice arithmétique 04-06-17 à 13:52

salut

comme 106 =7q+ 1

106p =(7q+ 1)p = 1 + 7.pq + 7².(C(p,2).q² + C(p,3).q3.7+..+
C(p,p).qp.7p-2)   alors

106p = 1 + 7.pq [49]

comme q = (106 -1) /7    alors  

106p = 1 + p.(106 - 1) [49]

mais 106 = 8[49]
            106 -1  = 7[49]
        p.(106 -1) = 7p [49]   et
1 + p.(106 -1) = 7p+1 [49]

donc
106p = (1+7p) [49]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice arithmétique 04-06-17 à 18:00

Bonjour,
A partir du moment où on utilise 106 8 [49]
autant s'en servir dès le début :
106 = 2040849 + 8
La congruence est donc vraie pour p = 1 :
106 1+7 [49]
Donc (106)p (1+7)p [49]
(1+7)p = 1 + p7 + C(p,2)72 + .... + 7p si p2 .
D'où 106p 1+7p [49] si p2 .

C'est vrai qu'on utilise peu 106 1 [7]

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