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Exercice concours général 2

Posté par
yohanandria
14-02-21 à 13:04

Bonjour,
Voici un autre exercice de type concours général dont je ne trouve pas la solution.

On considère deux nombres réels et tels que a^3+ b^3 − 6ab= −11. Montrer que :
- 7/3 < a+ b< −2.

Posté par
ty59847
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 13:20

Cet exercice a déjà été ouvert : Problème
-7/3, plutôt que -7 dans le sujet en question, ça paraît plus cohérent.

La course est lancée , tu as une journée de retard sur Polari56, mais c'est jouable, tu peux trouver avant lui.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 13:32

Posté par
yohanandria
Problème 14-02-21 à 18:19

On considère deux nombres réels et tels que a^3+ b^3 − 6ab= −11. Montrer que :
- 7/3 < a+ b< −2.

*** message déplacé ***

Posté par
matheuxmatou
re : Problème 14-02-21 à 18:26

bonsoir

tu as déjà posté ce sujet je crois ...

*** message déplacé ***

Posté par
yohanandria
re : Problème 14-02-21 à 18:30

Ah oui, j'avais oublié je croyais l'avoir supprimé.
Sinon as-tu un élément de réponse qui pourrait me faire avancer car je trouves des pistes mais qui n'aboutissent à rien.

*** message déplacé ***

Posté par
yohanandria
re : Problème 14-02-21 à 18:31

pas supprimé mais modifié*

*** message déplacé ***

Posté par
matheuxmatou
re : Problème 14-02-21 à 18:48

pose

x=\dfrac{a+b}{2}

y=\dfrac{a-b}{2}

a=x+y et b=x-y

remplace dans l'hypothèse

et tire (avec prudence)

y²= ....

étudie le second membre et traduis qu'il doit être positif ou nul

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 18:57

Bon, je propose une variante de la piste amorcée dans l'autre sujet.
a) Factoriser a3+b3 par a+b.
On obtient une égalité (1) équivalente à \; a3+ b3 − 6ab = −11 .
b) Poser S = a+b, puisqu'on espère trouver un encadrement de a+b.
Et poser D = a-b.
Exprimer a et b en fonction de S et D, et remplacer dans l'égalité (1).
c) En déduire un encadrement de S.

Posté par
yohanandria
re : Problème 14-02-21 à 19:00

Juste pour être sûr, que trouvez vous comme second membre ?

*** message déplacé ***

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 19:11

Je ne vois pas comment d'une relation on peut en déduire un encadrement..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 19:18

Oui, ça n'est pas immédiat.
N'oublie pas le contexte concours général.
C'est fait exprès pour ne pas être immédiat

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:24

Pouvez vous m'éclairer un peu plus je ne vois comment faire..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:29

Tu ne vois pas comment faire a) et b) ?

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:32

Si si j'en suis à la c) depuis un bon bout de temps, c'est là que je bloque.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:36

Sous quelle forme apparaît D ?

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:37

Je trouve D^2 qui est un polynome de degré 3

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:39

D^2 = (-44+6S^2 - S^3)/(3S+6)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:46

Très bien !
Quel doit être le signe du membre de droite ?

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:47

logiquement positif

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:49

Ah d'accord je vois, mais comment étudier le signe de -44+6S^2-S^3 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 14-02-21 à 21:56

Cherche un peu.
Ce n'est pas immédiat.
Mais tu n'es plus très loin.
Je ne vais plus être disponible avant demain.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 07:42

yohanandria @ 14-02-2021 à 18:30

Ah oui, j'avais oublié je croyais l'avoir supprimé.

Hum, hum

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 12:58

Tentative de ma part ^^ :

[blank]On effectue le changement de variable : x = \dfrac{a+b}{2}, y = \dfrac{a-b}{2}
On a donc : x+y = a , x-y = b
donc :

a^3 + b^3 -6ab -11 = x^3+6xy²-6(x^2-y²) -11

On peut avoir : y²(6x+6) + x^3-6x² -11 = 0 \Leftrightarrow y² = \dfrac{11-x^3+6x²}{6x+6}

Donc : y = _{-}^{+} \sqrt{\dfrac{11-x^3+6x²}{6x+6}}

On peut s?intéresser à l?ensemble de définition ? Donc au signe de : g(x) = 11-x^3+6x²

Je serai tentée d?utiliser la méthode de cardan comme sur l?autre poste mais bon.
C?est un bon début ?
[/blank]

malou edit > on ne peut faire des blank que dans le forum détente

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:03

Ah sinon comme l'encadrement n'est pas parfait on peut faire une dichotomie ? Ça évite d'utiliser cardan ?

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:06

On étudie la fonction g, croissance , on trouve qu'il existe qu'une solution unique pour g(x) = 0, on trouve un encadrement de x et donc de( a+b)/2 et on a a+b ?

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:12

Je me disais bien que y'avait un problème mdr j'ai commencé avec :

a^3+b^3-6ab - 11 = 0

Au lieu de :

a^3+b^3-6ab+11= 0

....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:19

Je n'ai pas regardé tes calculs.
L'idée de dichotomie n'est pas mauvaise.
Ne pas perdre de vue l'objectif avec -7/3.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:34

Il suffit de remplacer 11 par -11 dans tes calculs
Mais il manque un 2 devant x3.

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:37

Ouais ... je refais sans les erreurs ducoup (j'espère) :

x = \dfrac{a+b}{2}, y = \dfrac{a-b}{2}
Et a = x+y , b = x-y

Donc

a^3+b^3 -6ab + 11 = 0 \Leftrightarrow  (x+y)^3 + (x-y)^3 -6(x^2-y²) + 11 = 0

\Leftrightarrow x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 + x^3 - 3x^2y+3xy²-y^3 - 6x² + 6y² + 11 = 0

\Leftrightarrow 2x^3 + 6xy² - 6x² + 6y² + 11 = 0 \Leftrightarrow y²(6x+6) = -2x^3 -11 + 6x² \Leftrightarrow y = _{-}^{+}\sqrt{\dfrac{-2x^3+6x^2-11}{6x+6}}

Jusqu'ici c'est bon ? ^^

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:43

Par dichotomie on peut trouver que la limite coté exterieur de la définition pour la racine (je sais pas si je suis clair mais bref xD) :
Est -1.16 donc la racine est defini si x \in ]-1.16;-1[
Donc : -2.32 < a+b < -2
Donc : -7/3 < a + b < -2

J'ai sauté l'étude de g car je vais en cours ^^ mais on arrivera à ça.
C'est correct en terme de démarche ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:45

Oui, mais il faut s'arrêter avant la .
Traiter x = -1.
Puis diviser par 6(x+1).
Puis étudier le signe du quotient.
Pour le numérateur, ton idée de poser g(x) = ... , et d'étudier la fonction g est à explorer.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:47

Essaye de penser à autre chose pendant tes cours

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:48

Ah oui !! Y'a le cas x = -1 ... mais je doit pas faire la racine ? Fin ça change pas grand chose puisque y² \geq 0 ? J'y vais merci !

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 13:49

T'inquiètes j'ai physique puis eval de math expert et l'exercice est pratiquement resolu juste pas rédiger au propre ? Bonne après-midi

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 18:22

On s'arrête avant la racine ducoup on a :

Le cas x = -1 :

y^2(6(-1)+6) = 2+6-11 = -3 , \text{or  } 0 \neq -3
Cette équation n'est pas défini pour x = -1

y² = \dfrac{-11-2x^3+6x²}{6(x+1)}}, y² > 0

On pose g(x) = -2x^3+6x^2-11
g'(x) = -6x² + 12x = x(12-6x)

On cherche les extremums de g :
g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 , x = 2

On a :
\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & 0 & & 2 & & +\infty & \\ {signe} & & - & 0 & + & 0 & - & & \\ {variation} & & \searrow & -11 & \uparrow & -3 & \searrow & & \end{array}

g est strictement decroissante et continue sur ]-\infty ; 0], g(-2) > 0 et g(0) = -11 par conséquent d'après le corollaire du TVI, il existe une unique solution tel que g(\alpha) = 0 sur ]-\infty;0[, \alpha \in ]-2;0[.

Sur [0;+\infty[ , g(x) < 0 d'après le tableau de signe.

Une valeur approchée par dichotomie de \alpha est \alpha \approx -1.16 et -1.16 n'est pas compris dans l'ensemble de définition de g (côté extérieur des bornes)

Tableau de signe de f(x) = \dfrac{-2x^3-11+6x²}{6(x+1)}

                    -∞.         -1.16.    1.     +∞
(x+1)    |      -           -               0.        +
g(x).      |.     +.        0.     -              -
f(x).       |.     -        0.    +.    0.     -

Donc l'équation y² = \dfrac{-2x^3-11+6x²}{6(x+1)}
Est défini pour x \in [-\alpha :  -1]

Donc avec la valeur approché de alpha on obtient cet encadrement :

-1.16 < x.  < -1
-1.16 < (a+b)/2 < -1
-2.32 < a+b < -2
Ce qui revient à : -7/3 < a+b < -2

Voilà ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 18:43

Le tableau de variations de g est bon.
Par contre -2,32 n'est pas égal à -7/3.
Donc le "Ce qui revient à" ne convient pas.
-7/6 < 2 et 2 < a+b < -2 permet de déduire -7/6 < a+b < -2.

Calculer une valeur approchée de g(-7/6) permet de ne pas faire de dichotomie.
Le signe de g(-7/6) suffit pour affirmer que si x -7/6 alors g(x) > 0.
Donc que si x -7/6 alors f(x) < 0.

Pour que f(x) 0, il est donc nécessaire que x > -7/6.

Pour x < -2, c'est plus facile.

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 20:00

Ouais mise à part le « ce qui revient » au lieu d'un implique , le reste est bon ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 20:43

Les calculs ont bons.
Mais la rédaction est approximative.

Par exemple, l'équation y² = \dfrac{-2x^3-11+6x²}{6(x+1)} est définie dès que x -1.
Elle ne peut avoir de solution réelles pour y que si le membre de droite est positif ou nul.

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 20:57

C'est pas le genre d'exercice qu'on fait, voir on fait jamais ça, j'ai du en faire 1 ou 2 en tout dans ma vie donc la rédaction ,oui c'est normal que ça soit approximatif c'est mon gros problème...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 21:07

Tu es lucide sur tes difficultés pour rédiger avec précision
Par contre, c'est positif de t'intéresser à ce genre d'exercice sans te décourager
Ce qui est nouveau, c'est de ne pas être guidé vers la résolution par plein de questions intermédiaires.
Tu remarqueras que les intervenants ne tombent du premier coup sur la démarche qui aboutit.
Il faut s'y habituer.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 22:48

ne tombent pas

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 2 15-02-21 à 22:54

Oui pour celui ci je me suis juste aidé de quelques graphiques et du changement de variable conseillé par matheuxmatou, j'aime bien ce genre d'exercice xD ou y'a qu'une question et il faut chercher.

C'est plus intéressant fin bon j'ai eval mercredi 2h mdr faut pas que je la loupe, je peux descendre qu'à 19 mini :/ sur la geometrie dans l'espace et les logarithmes. Ça devrait être jouable après un 20 je dirai pas non ça fait un petit moment xD enfin bref...

Bonne soirée / journée ^^

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 16-02-21 à 09:57

Bonne chance pour ton évaluation de mercredi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 2 19-02-21 à 08:37

Bonjour,
J'ai posté une autre solution ici : Problème

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice concours général 2 25-02-21 à 09:57

>> yohanandria

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