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Niveau terminale
Exercice concours général 2
Posté par yohanandria
Bonjour,
Voici un autre exercice de type concours général dont je ne trouve pas la solution.
On considère deux nombres réels et tels que a^3+ b^3 − 6ab= −11. Montrer que :
- 7/3 < a+ b< −2.
Cet exercice a déjà été ouvert : 
Problème
-7/3, plutôt que -7 dans le sujet en question, ça paraît plus cohérent.
La course est lancée , tu as une journée de retard sur Polari56, mais c'est jouable, tu peux trouver avant lui.
On considère deux nombres réels et tels que a^3+ b^3 − 6ab= −11. Montrer que :
- 7/3 < a+ b< −2.
*** message déplacé ***
Ah oui, j'avais oublié je croyais l'avoir supprimé.
Sinon as-tu un élément de réponse qui pourrait me faire avancer car je trouves des pistes mais qui n'aboutissent à rien.
*** message déplacé ***
pose
a=x+y et b=x-y
remplace dans l'hypothèse
et tire (avec prudence)
y²= ....
étudie le second membre et traduis qu'il doit être positif ou nul
*** message déplacé ***
Bon, je propose une variante de la piste amorcée dans l'autre sujet.
a) Factoriser a3+b3 par a+b.
On obtient une égalité (1) équivalente à a3+ b3 − 6ab = −11 .
b) Poser S = a+b, puisqu'on espère trouver un encadrement de a+b.
Et poser D = a-b.
Exprimer a et b en fonction de S et D, et remplacer dans l'égalité (1).
c) En déduire un encadrement de S.
Oui, ça n'est pas immédiat.
N'oublie pas le contexte concours général.
C'est fait exprès pour ne pas être immédiat 
Cherche un peu.
Ce n'est pas immédiat.
Mais tu n'es plus très loin.
Je ne vais plus être disponible avant demain.
Tentative de ma part ^^ :
[blank]On effectue le changement de variable :
On a donc :
donc :
On peut avoir :
Donc :
On peut s?intéresser à l?ensemble de définition ? Donc au signe de :
Je serai tentée d?utiliser la méthode de cardan comme sur l?autre poste mais bon.
C?est un bon début ?
[/blank]
malou edit > on ne peut faire des blank que dans le forum détente 
Ah sinon comme l'encadrement n'est pas parfait on peut faire une dichotomie ? Ça évite d'utiliser cardan ?
On étudie la fonction , croissance , on trouve qu'il existe qu'une solution unique pour
, on trouve un encadrement de x et donc de( a+b)/2 et on a a+b ?
Je n'ai pas regardé tes calculs.
L'idée de dichotomie n'est pas mauvaise.
Ne pas perdre de vue l'objectif avec -7/3.
Par dichotomie on peut trouver que la limite coté exterieur de la définition pour la racine (je sais pas si je suis clair mais bref xD) :
Est -1.16 donc la racine est defini si
Donc :
Donc :
J'ai sauté l'étude de car je vais en cours ^^ mais on arrivera à ça.
C'est correct en terme de démarche ?
Oui, mais il faut s'arrêter avant la 
.
Traiter x = -1.
Puis diviser par 6(x+1).
Puis étudier le signe du quotient.
Pour le numérateur, ton idée de poser g(x) = ... , et d'étudier la fonction g est à explorer.
Ah oui !! Y'a le cas x = -1 ... mais je doit pas faire la racine ? Fin ça change pas grand chose puisque y² \geq 0 ? J'y vais merci !
T'inquiètes j'ai physique puis eval de math expert et l'exercice est pratiquement resolu juste pas rédiger au propre ? Bonne après-midi
On s'arrête avant la racine ducoup on a :
Le cas x = -1 :
Cette équation n'est pas défini pour
On pose
On cherche les extremums de :
On a :
est strictement decroissante et continue sur
, g(-2) > 0 et g(0) = -11 par conséquent d'après le corollaire du TVI, il existe une unique solution tel que
sur
,
.
Sur , g(x) < 0 d'après le tableau de signe.
Une valeur approchée par dichotomie de est
et
n'est pas compris dans l'ensemble de définition de
(côté extérieur des bornes)
Tableau de signe de
-∞. -1.16. 1. +∞
(x+1) | - - 0. +
g(x). |. +. 0. - -
f(x). |. - 0. +. 0. -
Donc l'équation
Est défini pour
Donc avec la valeur approché de alpha on obtient cet encadrement :
Ce qui revient à :
Voilà ?
Le tableau de variations de g est bon.
Par contre -2,32 n'est pas égal à -7/3.
Donc le "Ce qui revient à" ne convient pas.
-7/6 < 2
et 2 < a+b < -2 permet de déduire -7/6 < a+b < -2.
Calculer une valeur approchée de g(-7/6) permet de ne pas faire de dichotomie.
Le signe de g(-7/6) suffit pour affirmer que si x 
-7/6 alors g(x) > 0.
Donc que si x -7/6 alors f(x) < 0.
Pour que f(x) 
0, il est donc nécessaire que x > -7/6.
Pour x < -2, c'est plus facile.
Les calculs ont bons.
Mais la rédaction est approximative.
Par exemple, l'équation est définie dès que x
-1.
Elle ne peut avoir de solution réelles pour y que si le membre de droite est positif ou nul.
C'est pas le genre d'exercice qu'on fait, voir on fait jamais ça, j'ai du en faire 1 ou 2 en tout dans ma vie donc la rédaction ,oui c'est normal que ça soit approximatif c'est mon gros problème...
Tu es lucide sur tes difficultés pour rédiger avec précision
Par contre, c'est positif de t'intéresser à ce genre d'exercice sans te décourager
Ce qui est nouveau, c'est de ne pas être guidé vers la résolution par plein de questions intermédiaires.
Tu remarqueras que les intervenants ne tombent du premier coup sur la démarche qui aboutit.
Il faut s'y habituer.
Oui pour celui ci je me suis juste aidé de quelques graphiques et du changement de variable conseillé par matheuxmatou, j'aime bien ce genre d'exercice xD ou y'a qu'une question et il faut chercher.
C'est plus intéressant 
fin bon j'ai eval mercredi 2h mdr faut pas que je la loupe, je peux descendre qu'à 19 mini :/ sur la geometrie dans l'espace et les logarithmes. Ça devrait être jouable après un 20 je dirai pas non ça fait un petit moment xD enfin bref...
Bonne soirée / journée ^^
Bonjour,
J'ai posté une autre solution ici : Problème