Pas simple. Tellement pas simple que je n'ai pas la réponse.
J'ai tenté d'écrire (a+b)³ = ???   mais je ne vois pas trop où ça nous mène.
Si j'étais élève, j'essaierais ensuite de dessiner au brouillon la courbe  x³+y³-6xy=-11 , en plaçant quelques points ( x=-20, x=-5, x=0, x=5, x=20 par exemple)
Et sur le même dessin, je colorierais la bande du plan correspondant = -7<x+y<-2

Ca permettrait peut-être de voir les points limites ; d'où viennent ces 2 valeurs limites -7 et -2.

J'ai hâte de voir la suite.

Voilà

On voit que la courbe est quasiment une droite.
Quasiment une droite horizontale si on tourne la feuille d'un huitième de tour.
On a donc envie de faire un changement de variable :
x=a-b
y=a+b
A partir de l'équation a³+b³-6ab=-11, on va essayer d'exprimer y en fonction de x ... puis montrer que y est toujours entre -7 et -2 .

Dans le changement de variable, on peut même faire x=a-b et y=a+b+2 ... et on veut montrer que y est entre -5 et 0.
C'est généralement plus facile de calculer le signe d'une expression, plutôt que montrer que cette expression est plus petite que -2...

Merci beaucoup pour l'aide je m'y remets demain

J'ai donc exprimé y en fonction de x avec y = a+b+2 et x = a-b et j'ai trouvé :
y =
Je suis sur le bon chemin ?

Je ne sais pas trop comment tu es arrivé à cette formule.
Mais, si on veut travailler sur cette piste, il faut faire disparaître totalement a et b.
Partant de  a³+b³-6ab+11=0, on remplace a par ... et b par ... puis on essaie d'isoler y.
Donc ce que tu as fait n'est pas bon.

Par ailleurs, il semblerait que dans l'énoncé, on demande de montrer que -7/3<a+b<-2, et non -7<a+b<-2

Et au vu du graphe que tu as dessiné, c'est plus cohérent.

En effet c'est -7/3.
Je n'ai pas compris par quoi je dois remplacer a et b

Je ne vois pas comment faire disparaître a et b

Si tu fais le changement de variable y=a+b+2 et x=a-b, alors a=(x+y)/2-1 et b=(y-x)/2-1
Et donc, en remplaçant a et b par ces 2 expressions dans l'équation a³+b³-6ab+11=0, tu obtiens une équation avec uniquement x et y.

Merci j'aurais dû y penser

Je trouve l'équation mais je ne sais pas comment isoler y

Bon, donc la piste ne semble pas bonne (en supposant tes calculs corrects).

Regarde cette discussion : Exercice concours général 2

Bonjour,
Il se peut qu'en écrivant que x² est positif, ça puisse marcher

L'équation de 19h33 me semble fausse.

Bonjour,

on considère la fonction de 2 variables f(a,b)=

On recherche les extremums d'une fonction à deux variables.
On calcul les dérivées partielles de f(a,b) par rapport à a et b .



les points critiques sont donnés par et  
donc par
soit   donc   
Donc les points critiques sont pour a=b et a+b=-2
  a+b=-2  vérifie le maximun a+b< -2 ok
le minimum est pour a=b  , f(a,a)=
Il s'agit d'une équation du troisième degré, qu'il faut résoudre par la méthode de cardan pour trouver sa racine réelle.

erratum

si on fait le changement variable suivant : a=x+1, on obtient

on obtient la forme réduite  de cardan:

erratum au lieu de

Bonjour,
@phyelec78,
L'exercice est posté niveau terminale :
Pas de dérivées partielles donc.
Ou en parler autrement.
Ni de Cardan.

Oups! effectivement.

Bonjour,

il y a une solution à ce problème ici:
https://nosdevoirs.fr/devoir/3464865

Merci

Bonjour alfpfeu,
Oui, et c'est du multi-post supplémentaire de la part de yohanandria
Voir aussi Exercice concours général 2 qui a déjà été signalé le 14 à 21h24.

On y retrouve l'idée de ty59847 qui est de poser y = a+b+2

ah bon? tu veux dire avec la solution d'un autre post ici ou avec la solution proposée sur nosdevoirs.fr.
Car je vois pas trop le rapport entre l'idée de faire un changement de variable pour aboutir à une fonction à étudier , proposé par ty59847, et la solution proposée sur le site nosdevoirs.fr.

Au fait, savez-vous d'où cet exo est tiré? est-ce lié à un quelconque concours ou autre?

Merci,

C'est la solution proposée dans l'autre site qui permet de voir que l'idée de ty59847 pouvait aboutir.
Pour savoir d'où cet exo est tiré, va lire l'autre sujet du site de l'île avec le lien donné à 7h55.

Merci, donc c'est bien un exo du concours général de mathématiques? Vous savez de quelle année? je l'ai pas trouvé dans les annales.

C'est plutôt un exercice d'entrainement.

Deux jours après, je me permets de plagier la solution proposée dans le site nosdevoirs.fr.
Sa particularité est qu'à part le développement de (A+B)³ , elle n'utilise que des outils de la classe de 2nde, voire de 3ème.

a et b sont des réels.
a³ +b³ - 6ab = -11 (1)
On veut démontrer que si l'égalité (1) est vérifiée alors -7/3 < a+b < -2 .
Voici les étapes :

1) Poser x = a+1 et y = b+1 .
a) Factoriser (x-1)³ + (y-1)³ - 6(x-1)(y-1) + 8 par (x+y) .
b) Noter F le second facteur obtenu dans a).
Ecrire 2F sous forme d'une somme de 3 carrés.

2) Supposer que les réels a et b vérifient (1).
a) Démontrer que x+y < 0 .
b) En déduire que (x-3)² + (y-3)² > 18 .
c) Puis que x+y > -1/3 .

3) Conclure.