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exercice de logique
bjr mes amis,
encore un casse_tête de logique cette fois.
exercice:
x1,x2,........,xn sont des nombres positifs (strictement).
On pose: quel que soit n appartenent à N*
An=(sigma (k=1 à n) xk)(sigma (k=1 à n) 1/xk).
1) montrer que: quel que soit n appartenent à N*
An+1 >= (1+racine An)²
2) en déduire que: quel que soit n appartenent à N*
An>=n²
Merci d'avance!
Bonjour,
pour simplifier l'écriture des calculs, posons :
Sn = sigma (k=1 à n) xk et Sn' = sigma (k=1 à n) 1/xk
Ainsi A(n) = Sn Sn'.
A(n+1) = (Sn + x(n+1))(Sn' + 1/x(n1)) = Sn Sn' + x(n+1)Sn' + Sn/x(n+1) + 1
= A(n) + x(n+1)Sn' + Sn/x(n+1) + 1
Or
x(n+1)Sn' + S(n)/x(n+1) = (rac[x(n+1)Sn'] - rac[S(n)/x(n+1)])² + 2 rac(Sn Sn')
= (rac[x(n+1)Sn'] - rac[S(n)/x(n+1)])² + 2 rac(A(n))
d'où x(n+1)Sn' + S(n)/x(n+1) >= 2 rac(A(n))
et A(n+1) >= A(n) + 2rac(A(n)) + 1 soit A(n+1) >= (1 + rac(An))²
Pour le 2) une récurrence évidente suffit.
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