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Exercice de spécialité
Bonjour,
Exercice : Est-il parfait ?
On dit qu'un nombre est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres (c'est-à-dire autre que lui même).
On dit qu'un nombre est déficient s'il est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs propres.
Il est dit abondant dans le cas où il est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs propres.
1) Donner la nature des nombres suivants : 6, 17, 28, 56.
2) Que fait l'algorithme ci-contre ?
3) En modifiant et programmant l'algorithme précédent, déterminer le nombre d'entiers déficients, parfaits et abondants entre 0 et 100. Ecrire votre algorithme sur votre copie.
4) Montrer que :
a) Les nombres premiers sont nombres déficients.
b) Les multiples de 20 sont des nombres abondants.
Le but n'est pas de me dévoiler les réponses mais d'avancer pas à pas dans cet exercice d'entraînement.
Ma première question : pour la 1) on doit trouver les diviseurs dans
ou 
?
Bonne journée.
Krayz
salut
Néanmoins, mon instinct me suggère de trouver les diviseurs dans
.un peu de sérieux : si d divise n alors -d divise n ... donc la somme des diviseurs relatifs de n est évidemment nulle ...
Je me suis par la suite corrigé.
Concernant la question n°2, voici l'algorithme :
Ma réponse : Il s'agit d'un programme qui teste si un nombre entier positif est un nombre déficient, parfait ou abondant.
Il n'y a pas de test permettant de déterminer la nature du nombre mais seulement le calcul de la somme des diviseurs propres de N
Merci de votre réponse, je viens de comprendre l'action de cet algorithme.
Pour la question n°3, il faut tester si la somme est égale à N ou est strictement inférieure ou supérieure à ce nombre N pour déterminer finalement la nature du nombre N.
Mais comment l'écrire en langage mathématiques ?
Si N > S... alors... afficher "nombre ..." ? C'est ça l'idée ?
Variables : D, P, N : entiers ;
Début
Entrer N
S <- 0
Pour I allant de 1 à N-1
Si Frac (N/I) = 0
alors S <- S+I
Si N > S
alors D <- D+1
Sinon
Si S = N
alors P <- P+1
Fin Pour
Fin Si
Correction*
Variables : D, P, N : entiers ;
Début
Lire N
Pour N allant de 0 à 100
S <- 0
Pour I allant de 1 à N-1
Si Frac (N/I) = 0
alors S <- S+I
Fin Pour
Si N > S
alors D <- D+1
Sinon
Si S = N
alors P <- P+1
Fin Si
J'ai fait toutes les questions sauf la dernière : la 4) b)
Je bute dessus.
et je bloque pour la démo
20k =2 * 2 * 5 * k possède donc au moins les diviseurs stricts
1, 2, 4, 5, 10, 20, k, 2k, 4k, 5k et 10k
le résultat est donc trivial ...
D(20k) = {k ; 2k ; 4k ; 5k ; 10k ; 20k}
Un nombre est abondant s'il est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs propres.
Or, la somme des diviseurs propres de 20k est la suivante : k+2k+4k+5k+10k = 22k.
Finalement, 20k < 22k donc tous les multiples de 20 sont des nombres abondants.
D(20k) = {k ; 2k ; 4k ; 5k ; 10k ; 20k}
Un nombre est abondant s'il est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs propres.
Or, la somme des diviseurs propres de 20k est la suivante : k+2k+4k+5k+10k = 22k.
Finalement, 20k < 22k donc tous les multiples de 20 sont des nombres abondants.
surement pas ...
Ah bon ?
20k ne divise pas 20k ?
La somme des diviseurs propres de 20k n'est pas la suivante : k+2k+4k+5k+10k = 22k.
prend k = 10 et cherche tous les diviseurs de 20k = 200 ...
20k =2 * 2 * 5 * k possède donc au moins les diviseurs stricts
1, 2, 4, 5, 10, 20, k, 2k, 4k, 5k et 10k
le résultat est donc trivial ...
J'ai compris carpediem, merci à toi.
En fait, k ; 2k ; 4k ; 5k ; 10k ; 20k sont des diviseurs de 20k mais pas les diviseurs.
Donc si j'ai compris il faut dire que :
Des diviseurs de 20k sont : k ; 2k ; 4k ; 5k ; 10k ; 20k.
La somme de ces diviseurs propres est égale à 22k.
Or, 20k < 22k, donc les multiples de 20 sont des nombres abondants.
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