Bonjour,
1) pourrais-tu détailler le calcul de DA et DB en fonction de  a ?

Bonjour,
1 Vérifiez bien votre figure, d'après l'énoncé, on aurait plutôt DA =DC +CA.
DB est faux car BCD n'est pas un triangle rectangle.
Avez vous vu une formule en cours pour calculer le 3° coté d'un triangle si on connait un angle et ses deux côtés?
Sinon on peut calculer DB en utilisant le produit scalaire.
Merci de faire le 1° , on verra près.

Bonjour,
Refaire la figure. AC se calcule comme la diagonale d'un carré.

Bonsoir,
dans la fiche application du produit scalaire du site, appliquer le th d'Al Kashi.
Sinon on peut aussi calculer les coordonnées de D dans un repère d'origine B bien choisi et en déduire la longueur DB.

Pour AC le calcul se simplifie;  

Donc DA=

Les angles du triangle BCD sont simple à caculer.

Je t'écris le Théorème d'Al-Kashi où tu n'auras plus qu'à  compléter l'angle.

BD^2= BC^2 +CD^2  -  2BC.CD.cos(?)

Bonjour
non c'est DB²

Puis ecrire DB le plus simplement possible.  Cos (135°) c'est connu.

Bonjour ,
oui pardon c'était une faute frappe mais c'est bien DB^2 que je voulais écrire
on peut dire qu'on a cos(3x/4) = -2 /2  ?

Parce que ça nous ferait DB= a2 - a2 x -(2 /2)
mais ça me semble bizarre

Attention la somme des racines n'est pas égale à la racine de la somme!
Il faut d'abord calculer DB² le plus simplement possible ( a² peut être mis en facteur) et ensuite prendre la racine du tout. On pourra sortir a de la racine.

Donc
Tu peux l'écrire en mettant   en facteur puis  écrire

Le triangle BCD est isocèle.   Où retrouves-tu ?

Une façon d'écrire           est :   DA.DB cos(?)

On ne devrait pas être très loin de la conclusion.

Oui en effet, j'ai trouvé cette égalité et donc DB = a(2/2)

On voit que 3/4 + /8 + /8 =
Donc l'angle CBD= l'angle CDB=/8

* DB= a(2+2)

Le produit scalaire :
DA xDB= DA x DB x cos(CDB)
= a(1+2) x a(2+2) x cos(/8)
  = a+a2 x a(1+2 ) x cos (/8)

sinon j'ai trouvé que cos/ 8 = (2+2) / 2
avec la formule d'al kashi mais je ne crois pas que ce soit ce qu'on me demande

C'est ce qu'on demande . Et effectivement on peut le faire avec Al Kashi.

Mais l'énoncé suggère de le faire avec deux déf différentes.
Mais il est astucieux de prendre avec la déf par le cos puis par projection. Facile car triangle isocèle.

En effet si H est la projection orthogonale de A sur DB on a:

Attention aux fautes de calcul.  Pour le calcul de     tu as développer en faissant une erreur. Il faut garder les factorisations.
Il y a encore une autre méthode en écrivant      comme la somme de deux vecteurs

Bonjour Jean 3
il me semble plus facile de projeter C dur (DB) que A sur (DB).
Le projeté de C est h = milieu de DB. Donc .
Est-ce que je me trompe?

Bonjour juliette001
je voulais dire  H projection de B  sur DA.

Tu abandonnes ou tu as finie l'exercice ?

bonjour,

Merci à vous de prendre le temps de me répondre! Non je n'abandonne pas je m'y remets là maintenant.

comment fait on pour trouver que le produit scalaire des vecteurs DA et DB est égal à DB.DH ?

bonjour Breuil,
En fait je dois trouver deux manières de calculer le produit scalaire des vecteurs DA et DB donc est ce que c'est vraiment utile de faire DB•DC ? (simple question )

C'est du cours et de la trigonométrie dans le triangle rectangle BDH.
Dans l'expression DA.DB cos(pi/8)  , DB.cos(pi/8) c'est DH..
Revoir la définition du cosinus:   côté adjacent / hypoténuse
l'hypoténuse c'est DB et le côté adjacent c'est ?

ah oui, le côté adjacent c'est DH. J'ai essayé de trouver sa valeur mais je trouve quelque chose de bizarre avec beaucoup de racine de 2

Si on considère le triangle BCD. L'angle BDC vaut pi/8.
Le projeté orthogonal H de C sur (BD) est le milieu de [BD].(Triangle isocèle)
Donc
= DB .DB/2 = DB. DC.cos(Pi/8).
On peut simplifier par DB et en déduire le cos(Pi/8). Rappel DC =a.

Bonjour

merci de me dire s'il y a quelque chose de peu clair ou de faux dans cette démarche.

J'expliquerai avec plaisir. Le produit scalaire par projection est une notion importante à bien comprendre. Cela revient en fait à utiliser la déf du cos vue en 3°.

Bonne journée  

Bonjour,

la démarche explicite de l'énoncé est :

1. Exprimer DA et DB en fonction de a.
- Pythagore judicieusement appliqué (ajouter des points avec astuce)
- ou Al-Kashi
- voire même ce qui est la démonstration d'Al-Kashi :



2.En exprimant de deux façons différentes le produit scalaire etc

l'une d'elles est
l'autre est ... une autre
on a le choix :
- décomposer ou en une somme ou une différence pour développer et simplifier

- utiliser (réciter) la formule préférée des livres de maths (la pire !)



avec et pas la différence des longueurs !!
(ça revient au même mais le développement direct au lieu de réciter par coeur évite de se mélanger les pinces entre les deux formules du livre : l'une en et l'autre en

- ou enfin comme tu (breuil) le fais ré-écrire autrement (en y ajoutant une paire de parenthèses) la même formule

(mais absolument pas DB DC !!!, ce n'est pas l'énoncé !!)


ces méthodes conduisent à des calculs différents (simplification d'expressions plus ou moins lourdes "avec des racines carrées partout")

finalement on peut aussi ignorer la démarche imposée et n'utiliser aucun produit scalaire ni Al-Kashi du tout, avec la même figure
pu calculer d'autres produits scalaires que celui demandé.
(on se demande même si le but caché de l'exo n'est pas de maitriser des calculs affreux !)


en tout cas :

Bonjour et merci Matafou

Au temps pour moi!

Je me suis centré sur le but mais je n'ai pas suffisamment vu l'énoncé.

En effet ce n'est pas très logique. On peut se demander s'il n'y a pas une erreur d'énoncé!

Ou alors remarquer que les coordonnées de D sont( ) Et tout faire avec des coordonnées.

Mieux peut -être écrire . Développer.

des coordonnées c'est encore une fois ignorer l'énoncé tel qu'il est ...

et tel qu'il est ça marche très bien
juste les calculs sont un peu (trop) pénibles par rapport à d'autres démarches (quoique ...)

Ma dernière suggestion peut se faire sans coordonnées. se calcule facilement par la géométrie pure. On projette sur (AB).

mouais ...



donnera à partir des seules longueurs déja calculées la question d'avant
(façon logique à mon avis d'enchaîner les questions)
...

mais comme j'ai dit :
on peut calculer ce produit scalaire de différentes façons.
on en choisit une et on développe.

AB = a d'après l'énoncé.

bein oui

dans le calcul que j'indique, on connait tout sauf le produit scalaire
AB = a, DB (longueur) et DA (longueur) calculés question 1.
et donc la valeur du produit scalaire (ne pas simplifier outrageusement)

comme d'autre part (ce que veut dire "de deux façons différentes") ce produit scalaire est DB×DA cos pi/8
ça donnera cos pi/8 ...

c'est ça l'idée de l'énoncé. (à quelques variantes près sur la façon de calculer ce fameux produit scalaire)

Oui , en fait vous (tu?) avez ( as) raison . Ici cette vilaine formule est utile et efficace.
On a fait le tour de la question. Moi avec quelques errements. Mais c'est comme ça qu'on avance!
Bon courage à Juliette 001.  Je vais rentrer dans une période de silence pénitentiel.

Bonjour mathafou (et merci)

En 1ère méthode j'ai fait : DA.DB = DAxDBxcos(ADB)
                                                                                       = a(1+2) x a(2+2) x cos (/8

Pour la 2ème méthode, j'ai donc fait avec la formule commençant par 1/2:
j'ai alors : DA.DB= 1/2[(a²(1+2)² + a²(2+2) - a²]
= 1/2 (a²( 2x2 + 3+2+2 -1)

Je ne sais pas si cela est juste pour continuer

Bonsoir,
1ère et 2ème méthodes : tes formules sont justes.

merci !
J'ai un peu plus développé la 2è formule et j'ai donc :
DA.DB= 1/2(a²(32 +4)
Je ne suis pas sûre du résultat...

Mais normalement si tout va bien j'ai :
1/2(a²(32 +4) = a(1+2) x a(2+2) x cos (/8)

Cela me semble assez compliqué à résoudre...

Tu vas y arriver.
Commence par reprendre l'expression de 22h02 (2ème méthode), mets  a²  en facteur et réduis le reste.

. . . sans développer (1 + 2)² .

Bonjour juliette001

Tu as plusieurs  méthode. Je t'expose la mienne qui utilise le point H :

DH=






En égalant les deux expressions et en simplifiant par DA on a pour cos(pi/8)

=





En remarquant que le numérateur privé de 1/2 est le carré du dénominateur on obtient le résultat demandé.