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Exercice propriétés des translations et des homothéties !
Bonjour en cette fin de matinée de vacances, je me suis pencher vers un exercice sur les homothéties, mais je bug complétement dessus, voici l'énoncé :
Dans le plan, ABCD est un parallélogramme, E est le point de la diagonale [AC] tel que vecteur AE=2/3vecteur AC.
La paralléle à (AB) passant par E coupe la droite (AD) en I et la droite (BC) en J.
La paralléle à (AD) passant par E coupe la droite (AB) en K et la droite (CD) en L.
On note h l'homothétie de centre E qui transforme A en C.
1) Quel est le rapport de h ?
2) Déterminer les images de l et K par h.
3) Comparer les aires des parallélogrammes AKEI et EJCL.
Bonjour Alexi
On te dit que h est une homothétie de centre E qui transforme A en C.
Donc le rapport k de cette homothétie peut se définir de la façon suivante
Comme et donc
,
on arrive après transformation à écrire en fonction de
Définition d'une homothétie de centre O et de rapport k :
On obtient l'image M' en construisant le vecteur OM' = k*OM
Il faut que tu exprimes EC en fonction de EA , puisque C est l'image de A
EC = EA + AC = EA + 3/2 AE = EA - 3/2 EA = -1/2 EA donc le rapport est -1/2
Regarde aussi le graphique ; on a bien EC = -1/2 EA
excuse moi elisabeth67 mais je n'ai pas compris ton explication pour trouver le rapport de l'homothétie =S
d'après ton graphique et le mien je suis tout a fait d'accord avec toi mais peux tu m'expliquer ?
je te remercie d'avance.
Si par exemple , on a M' image de M par une homothétie de centre C, et si on a CM' = 5CM , le rapport d'homothétie est 5
Si on a K' image de K par une homothétie de centre E, et si on a EK' = (-1/6)EK , le rapport d'homothétie est (-1/6)
Ici , on a réussi à montrer que EC = -1/2 EA , E est le centre de l'homothétie et C est l'image de A , donc le rapport est (-1/2)
Ou bien c'est le calcul avec les vecteurs que tu ne comprends pas ?
merci j'ai compris et j'ai réussi à refaire la question ! 
don en faite pour la question suivante,
l'image de I est J et l'image de K est L
est ce qu'il faut que je justifie ? parce que si il faut le justifier je ne vois pas par quel moyen !
a part dire que l'on sait que l'homothétie h et de rapport -1/2 transforme A en C
peut être qu'il faut que je dise que comme la droite IJ est parallèle a la droite AB et qu'elle fait partie du parallélogramme et que I,J,E sont alignés alors J est l'image de I de centre E et de rpport -1/2 et pareil pou l'autre point !
a part cela je ne vois pas quoi faire !
et puis a la question c, c'est encore plus dur 
Tu peux utiliser Thalès
On a 2 sécantes (AC) et (IE) coupées par 2 parallèles (AD) et (BC)
donc EC/EA = EJ/EI
Ainsi on aura aussi EJ = -1/2EI
De même pour K et L
3) Comparer les aires des parallélogrammes AKEI et EJCL.
EJ = 1/2 EI ( en longueurs , le signe (-) ne servant que pour les sens des vecteurs )
EL = 1/2EK
Donc le parallélogramme EJCL est une réduction de coefficient 1/2 du parallélogramme AKEI . Pour les aires , ce coefficient est élevé au carré , donc Aire EJCL = 1/4AireAKEI
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