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Exercice ROTATION
ABC est un triangle de sens direct.
On construit à l'extérieur du triangle ABC les carrés BCRS, CAMN et ABPQ de centres respectifs O1, O2 et O3.
On note I le milieu de [AB].
Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (AO1), (BO2) et (CO3) sont concourantes. (Ce point de
concours s'appelle le point de Vecten du triangle ABC)
1. Démontrer que les segments [BN] et [AR] sont perpendiculaires et de même longueur. (On pourra utiliser
une rotation de centre C)
2. En déduire que les segments [IO1] et [IO2] sont également perpendiculaires et de même longueur. (On
pourra utiliser le théorème des milieux dans les triangles ABR et ABN)
3. Démontrer que les segments [AO1] et [O2O3] sont perpendiculaires et de même longueur. (On pourra utiliser
une rotation de centre I)
4. En déduire que les droites (AO1), (BO2) et (CO3) sont concourantes en l'orthocentre du triangle O1O2O3
j'ai un gros problème avec cette exercice, je n'y arrive absolument pas! Si quelqu'un pourrai me résoudre le question. Merci
Tout en vecteur
AR=AC+CR
BN=BC+CN
BC=CR (Carré)
AC=CN (Carré)
On remplace AC & CR dans la 1ère équation soit :
AR=CN+BC or c'est égal à la 2ème équation don:
AR=BN Ils sont donc de même longueur
1. Si on applique une rotation de pi/2, de centre C et de sens convenable au point R, il vient en B, et au point A, il vient en N. Le segment RA vient donc coïncider avec le segment BN après cette rotation de pi/2.
2. Le segment IO2 joint les points milieux des côtés AB et AN du triangle ABN.
Considérons les triangles ABN & ABR
IO2 coupe AB & AN en leurs milieux
donc IO2 est // à BN
De même pour :
IO3 coupe AB & BR en leurs milieux
donc IO3 est // à AR
Comme BN & AR sont perpendiculaires
les droites IO2 & IO3 sont également perpendiculaires
Dans le triangle ABN
IO2 est // BN pour I au centre de AB & O2 au centre de AN
Donc la valeur de IO2 = 1/2 BN
Dans le triangle ABR
IO1 est // AR pour I au centre de AB & O1 au centre de BR
Donc la valeur de IO1 = 1/2 AR
Comme BN = AR
On a donc IO2 = IO1
Comme IO2=IO1
On a une rotation de O2 vers O1 (Arc de centre I)
Comme IO2 perpendiculaire à IO1
C'est une rotation de 90° (PI)
Comme IA = IO3 (Carré)
On a une rotation de A vers O3 (Arc de centre I)
De valeur 90° (PI) puisque IO3 perpendiculaire à IA (Carré)
Donc AO1 & O2O3 sont perpendiculaires & égaux en valeur
On a démontré que AO1 est perpendiculaire & égal en valeur à O2O3
Il en est de même pour CO3 perpendiculaire & égal en valeur à O1O2
Il en est de même pour BO2 perpendiculaire & égal en valeur à O1O3
Donc les droites AO1, BO2 & CO3 sont concourantes en l'orthocentre du triangle O1O2O3
Exercice terminé
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