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Exercice suites 1ère

Posté par
liloudvb 19-02-20 à 12:54

Bonjour à tous,
Je dois faire pour la rentrée un DM de maths, mais je bloque sur certaines questions d'un exercice. Voici l'énoncé :

On considère la suite u définie sur \mathbb{N} par u_0=3  et, pour tout entier n, u_{n+1} = \frac{2}{1+u_n}

1) A l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de cette suite et sa limite éventuelle.

2) Calculer u_1 et u_2. Cette suite est-elle arithmétique? géométrique? Justifier

3) On admet que u est positive et on considère la suite w définie sur \mathbb{N} par : w_n = 1-\frac{3}{u_n+2}
   a) Calculer les premiers termes de w puis conjecturer la nature de la suite w. Démontrer cette conjecture.
   b) En déduire une expression de w_n en fonction de n.
   c) Justifier que pour tout n \in \mathbb{N} : u_n = \frac{3}{1-v_n}-2 En déduire une expression de w_n en fonction de n. Justifier alors que u est bien une suite convergente.


J'ai donc réussi les questions 1 et 2, qui permettaient de dire que (u_n) n'était ni arithmétique ni géométrique. J'ai également conjecturé que (w_n) était géométrique de raison \frac{-1}{2} et de premier terme w_0=\frac{2}{5}, mais je n'arrive pas à le démontrer, c'est à dire de répondre à la question 3)a) . J'ai essayé d'exprimer w_{n+1} en fonction de w_n mais cela n'aboutit à rien... La question 3)c) me pose également problème.

Merci d'avance à ceux qui essaieront de m'aider.
Bonne journée!

Posté par
liloudvbre : Exercice suites 1ère 19-02-20 à 13:04

Oups je me suis trompée, dans la question 3)c) u_n=\frac{3}{1-w_n}-2

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 19-02-20 à 13:38

Bonjour

Écrivez vos calculs car c'est bien ainsi qu'il faut commencer

w_{n+1}=1-\dfrac{3}{u_{n+1}+2}=1-\dfrac{3}{\frac{2}{1+u_n}+2}

même dénominateur et simplification

Posté par
liloudvbre : Exercice suites 1ère 19-02-20 à 14:40

\large w_{n+1} = 1 - \frac{3}{u_{n+1}+2}

\large = 1 - \frac{3}{\frac{2}{1+u_n}+2}

\large = 1 - \frac{3}{\frac{2}{1 + u_n}+\frac{2(1+u_n)}{1+u_n}}

\large = 1 - \frac{3}{\frac{4+2u_n}{1+u_n}}= 1 - 3 \times \frac{(1+u_n)}{4+2u_n}

= 1 - \frac{3+3u_n}{4+2u_n}

= \frac{4+2u_n}{4+2u_n} - \frac{3+3u_n}{4+2u_n}

= \frac{4+2u_n-3+3u_n}{4+2u_n}

= \frac{1+5u_n}{4+2u_n}

Voilà ce que je trouve, il doit y avoir une erreur dans mes calculs..

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 19-02-20 à 18:04

L'erreur habituelle signe - devant une parenthèse

On change le signe de tous les termes à l'intérieur d'icelle

-(a+b)=-a-b

-(3+3u_n)=-3-3u_n

= \dfrac{4+2u_n-3-3u_n}{4+2u_n}

= \dfrac{1-u_n}{2(2+u_n)}

=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\right)=-\dfrac{1}{2}w_n

Soit vous décomposez ce qu'il y a dans la grande parenthèse  soit vous réduisez au même dénominateur  l'expression que vous avez pour w_n

Pour les fractions il vaut mieux mettre de grandes fractions donc \dfrac à la place de \frac

Posté par
liloudvbre : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 12:08

Merci beaucoup pour votre réponse!! J'ai compris mon erreur. Cependant, je ne comprends comment on passe de \dfrac{(u_n-1)}{(u_n+2)} à  w_n

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 12:15

Je vous l'avais indiqué

w_n=1-\dfrac{3}{u_n+2}=\dfrac{ u_n+2-3}{u_n+2}=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}

ou \dfrac{u_n-1}{u_n+2}=\dfrac{u_n+2-3}{u_n+2}=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}-\dfrac{3}{u_n+2}=1-\dfrac{3}{u_n+2}=w_n

Posté par
liloudvbre : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 13:17

Merci énormément pour votre aide. J'ai encore un petit souci pour la question 3)c), dans laquelle il faut justifier que u_n=\dfrac{3}{1-w_n}-2
J'ai commencé mon raisonnement en disant que
w_n=1-\dfrac{3}{u_n+2}

=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}-\dfrac{3}{u_n+2}

=\dfrac{u_n+2-3}{u_n+2}=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}=w_n

u_n+2=\dfrac{u_n-1}{w_n}

u_n=\dfrac{u_n-1}{w_n}-2

J'ai l'impression d'être sur la bonne voie mais je n'arrive pas à trouver l'étape suivante

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 13:46

Puisque vous avez utilisé le résultat dans la question précédente ce ne sera pas la peine de redémontrer que w_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}

Si vous aviez une équation en x laisseriez-vous traîner un x ?

(u_n+2)w_n=u_n-1\qquad u_n w_n+2w_n=u_n-1 \qquad u_n(w_n-1)=-1-2w_n

d'où u_n=\dfrac{1+2w_n}{1-w_n} en changeant tous les signes.


\dfrac{1+2w_n}{1-w_n}=\dfrac{3-2+2w_n}{1-w_n}=\dfrac{3-2(1-w_n)}{1-w_n}

À vous la fin !

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 14:05

Citation :
En déduire une expression de w_n en fonction de n.


Erreur de texte  : il faut lire u_n au lieu de w_n.

Pour w_n on n'avait pas besoin de tout cela car vous aviez montré que c'est une suite géométrique,
par conséquent on sait très bien écrire le terme général d'une suite géométrique en fonction de n

Posté par
liloudvbre : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 14:16

J'ai donc trouvé
u_n=\dfrac{3-2(1-v_n)}{1-v_n}
=\dfrac{3}{1-v_n}-\dfrac{2(1-v_n)}{1-v_n}
=\dfrac{3}{1-v_n}-2

On retrouve donc bienu_n !!

Posté par
liloudvbre : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 14:17

Je ne comprends comment on peut exprimer u_n en fonction de n :/

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 14:23

retour vers 18 h

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 14:25



Tout simplement en remplaçant w_n par son expression en fonction de n

Posté par
liloudvbre : Exercice suites 1ère 20-02-20 à 22:50

J'ai trouvé que u_n=\dfrac{3}{1-(\frac{2}{5}\times(-\frac{1}{2})^n}

J'ai juste un dernier souci avec le fait de justifier queu est une suite convergente, car nous n'avons pas abordé ce point en cours, si vous pouviez m'avancer quelques éléments de réponse ce ne serait pas de refus )

Posté par
heklare : Exercice suites 1ère 21-02-20 à 08:30

Où est passé -2 ? car  =\dfrac{3}{1-w_n}-2

remarque dans le message de 14:16 vous avez écrit v_n au lieu de w_n

\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n tend vers 0 lorsque n tend vers +\infty

cf limite d'une suite géométrique  de raison 0<\vert q\vert <1

par conséquent  la fraction tend vers 3 et u_n vers 1


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