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exercice sur les suites
la suite (Un) est définie, pour tout naturel n, par Un=2n+3n+1
Etudiez le signe de (Un+1/Un)-1
merci de bien vouloir m'aider je n'y arrive pas
Un+1/Un-1=(2^(n+1)+3(n+1)+1)/(2^n+3n+1)-1
=(2^(n+1)+3n+4-2^n-3n-1)/(2^n+3n+1)
=(2^n(2-1)+3)/(2^n+3n+1)=(2^n+3)/(2^n+3n+1)>0
(Un+1/Un) - 1 = (2n+1 + 3(n+1) + 1)/(2n + 3n + 1) - 1
[2n+1 + 3(n+1) + 1 - (2n + 3n + 1) ] / (2n + 3n + 1)
On pose A = [2n+1 + 3(n+1) + 1 - (2n + 3n + 1) ] et B = (2n + 3n + 1)
(Un+1/Un) - 1 = A/B
Si n est un entier naturel, B, le dénominateur de cette fraction est toujours strictement supérieur à 0, on va donc étudier juste le signe du numérateur A, ce sera le signe de (Un+1/Un) - 1
A = 2n+1 + 3(n+1) + 1 - (2n + 3n + 1)
A = 2n+1 + 3n + 3 + 1 - 2n - 3n - 1
A = 2n+1 - 2n + 3
A = 2n(2-1) + 3
A = 2n + 3, ce qui est toujours positif.
On a dnc quel que soit n, (Un+1/Un) - 1>0, donc Un+1 > Un
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