Niveau première

exercice sur les suites

Posté par kevinho17 (invité) 01-05-05 à 14:36

bonjour je bloque sur cette exercice je ne sais pas du tout comment faire merci d'avance pour votre aide !
Soit U_n la suite définie par : U₀=1 et pour tout n appartient a N, U_n₊₁=U_n/2U_n+1
on pose V_n=1/U_n
a)Montrer que V_n est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison r.
b)Exprimer V_n et U_n en fonction de n.

Posté par dolphie (invité)re : exercice sur les suites 01-05-05 à 14:42

Salut,

1.pour vérifier si une suite est arithmétique on calcule $v_{n+1}-v_n$ et on regarde si le résultat dépend ou non de n...
ici:
$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}$
$v_{n+1}-v_n=\frac{2u_n+1}{u_n}-\frac{1}{u_n}$
....
$v_{n+1}-v_n=\frac{2u_n}{u_n}=2$
ainsi, pour tout entier n:
$v_{n+1}=v_n+2$
Donc V est une suite arithmétique de premier terme v0=1 et de raison 2

Posté par dolphie (invité)re : exercice sur les suites 01-05-05 à 14:44

2. comme Vn suite arithmétique de raison 2 et premier terme 1, alors:
pour tout n: $v_n = v_0+nr$ , soit :
$v_n = 1+2n$

puis $u_n=\frac{1}{v_n}$
donc:
pour tout n:
$u_n=\frac{1}{1+2n}$

Posté par kevinho17 (invité)re : exercice sur les suites 01-05-05 à 14:46

merci bcp maintenant g compris c cool !! merci encore

Posté par kevinho17 (invité)j ai un doute pour les questions suivantes 01-05-05 à 15:19

re bonjour j'ai encore besoin d'aide !! c la suite de cette exercice :
3)Pour tout entier naturel n, on pose : W_n=2^V_n
a)Montrer que W_n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q
b)Pour tout entier naturel n, on pose :
S_n=W₀+W₁+W₂+...+W_n et P_n=W₀*W₁*W₂*...*W_n
Calculer S_n et P_n.

Posté par dolphie (invité)re : exercice sur les suites 01-05-05 à 15:34

3. a)pour vérifier si une suite est géométrique, on calcule $\frac{w_{n+1}}{w_n}$ et on regarde s'il est ou non indépendant de n:
$\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{2^{v_{n+1}}}{2^{v_n}}=2^{v_{n+1}-v_n}=2^2=4$

donc Wn est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme Wo=2.

b)Sn: somme des n premiers termes d'une suite géométrique....
$S_n = w_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
soit:
$S_n = 2\frac{1-4^{n+1}}{-3}$

Posté par dolphie (invité)re : exercice sur les suites 01-05-05 à 15:39

et pour Pn:
$w_0$
$w_1=w_0\times q$
$w_2=w_0\times q^2$
....
$w_n=w_0\times q^n$
$P_n=w_O^{n+1}\times q^{1+2+...+n}$
or $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
d'ou:
$P_n=2^{n+1}\times 4^{\frac{n(n+1)}{2}}$
mais 4=2², on peut donc encore écrire:
$P_n=2^{n+1}\times 2^{2\times \frac{n(n+1)}{2}}$
$P_n=2^{n+1}\times 2^{n(n+1)}$
$P_n=2^{(n+1)^2}$

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