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Exercice sur les suites
Bonjour à tous,
Un sujet de maths m'a été donné durant les vacances mais étant donné que mon professeur n'a pas pu nous faire le cours je me retrouve assez perdu devant celui-ci.
J'espère recevoir un peu d'aide pour ainsi m'aider à rendre à temps mon devoir Merci
Donc le voici :
Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10 m.
On mesure le niveau de l'eau chaque jour à midi.
Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 6, 05 m.
Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante : d'abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière).
ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).
1. On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite (un ) pour tout entier naturel
n, le terme un représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1er janvier 2018
Ainsi le niveau d'eau du lac, en cm, le 1er janvier 2018 est donné par u0 = 605
a. Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a un + 1 = 1,06 × un - 15.
2. On considère la suite (vn) définie pour nombre entier naturel n par vn = un - 250.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 1,06. Préciser son terme initial.
b. Exprimer, pour tout n ∈ N, vn en fonction de n.
c. En déduire que, pour tout entier naturel n , un = 355 × (1,06)n + 250.
Voilà j'ai déjà réussi à effectuer la question 1 mais la 2 me pose réellement problème
bonjour
Voilà j'ai déjà réussi à effectuer la question 1
peux-tu poster ta démonstration concernant cette question.
kenavo27kenavo27
bonjour
Voilà j'ai déjà réussi à effectuer la question 1
peux-tu poster ta démonstration concernant cette question.
Voici ce que j'ai fait:
1. A) u1=u0x1,06-15
u1=605x1,06-15=626,3
B) un+1=unxq-15
un+1=1,06xun-15
Bonjour,
De manière générale, comment exprimer Vn sous forme d'une suite géométrique ?
(n'oublie pas, d'écrire des phrases, même si cela te parais simple pour le 1 ).b) afin d'expliquer comment tu crées Un+1)
Bonjour,
De manière générale, comment exprimer Vn sous forme d'une suite géométrique ?
(n'oublie pas, d'écrire des phrases, même si cela te parais simple pour le 1 ).b) afin d'expliquer comment tu crées Un+1)
D'accord merci
Si je reprends ce que j'ai vu je sais que :
Vn+1/V
n
Dans certain cas cela est très pratique.
Mais là, il y a beaucoup mieux.
Que dit la définition ( de base) pour une suite géométrique ?
Dans ce cas là, la forme sous quotient n'est pas très appréciable.
Tu peux mettre cette expression sous une autre forme.
Je ne pense pas que la définition est très utile mais la voici :
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q appelé raison
Pour tout entier n , un+1= q x un
Je vois dans mon cours que je peux utiliser un contre-exemple en calculant V0, V1, V2 et on effectue :
V1/V0
V2/V1
Et si les résultats sont les memes je peux dire qu'elle est ou n'est pas géométrique
Je vais surement utiliser celle-ci
Donc, on cherche pour tout entier naturelle n, Vn+1=qVn où q est un réelle
Or, Vn dépend de Un et Vn+1 dépend de Un+1.
Est tu d'accords ?
(PS : Vn+1/Vn=q est équivalent logiquement à Vn+1=qVn)
Je vois dans mon cours que je peux utiliser un contre-exemple en calculant V0, V1, V2 et on effectue :
V1/V0
V2/V1
Et si les résultats sont les memes je peux dire qu'elle est ou n'est pas géométrique
Je vais surement utiliser celle-ci
Cela passe aussi avec beaucoup plus de calcul. Connaitre les deux méthodes serait le mieux. Cependant dans ce cas, je te conseille plutôt mon approche.
Je pense avoir trouvé !
On sait que
Vn+1=un+1-250
Vn=un-250
De plus
Un+1= 1,06un-15
Démontrons que la suite Vn est une suite géométrique
Si l'on reprend l'expression de Vn+1 en fonction de Vn
Vn+1/Vn = q
Donc on a:
Vn+1/Vn
= un+1 -250 / un-250
= 1,06un -15 -250 / un -250
= 1,06un-265 / un -250
=1,06(un-265/1,06)/un-250
=1,06
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