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Exercice triangle

Posté par
Jean24578
26-03-18 à 21:14

Bonjour,

Pourriez-vous m'apporter votre aide afin de résoudre l'exercice suivante :

"Soit un triangle ABC tel que AB = 5, AC = 7, BC = 9
Démontrer que l'ensemble des points M vérifiant MB^2 - MC^2 = -24 est la hauteur du triangle ABC issue de A."

La seule réponse trouvée me semble trop évidente : AC^2 - AB^2 = -24, les points B et C étant proportionnellement autant éloignés de la hauteur A, l'ensemble des points M vérifiant MB^2 - MC^2 = -24 est donc cette hauteur.

Je n'ai cependant aucune autre piste de réflexion viable, je vous remercie d'avance.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice triangle 26-03-18 à 21:21

Bonjour,

Citation :
les points B et C étant proportionnellement autant éloignés de la hauteur A
ça veut dire quoi ça ??

Posté par
Jean24578
re : Exercice triangle 26-03-18 à 21:23

Je ne parviens pas à l'expliquer correctement et ce n'est pas du tout mathématique, c'est pourquoi je sais que ma réponse n'est pas la bonne.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice triangle 26-03-18 à 21:23

en plus erreur de calcul ou de frappe
AC^2 - AB^2 n'est pas égal à -24

Posté par
Jean24578
re : Exercice triangle 26-03-18 à 21:24

Oui c'est AB^2 - AC^2 = -24

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice triangle 26-03-18 à 21:29

Citation :
Je ne parviens pas à l'expliquer correctement,


sans doute parce que ça ne veut rien dire et que ça ne correspond à rien du tout ...

la bonne méthode consiste à démontrer que le vecteur AM est orthogonal au vecteur BC

en décomposant MB^2 - MC^2 "via A" par Chasles et en factorisant pour considérer ça comme un produit scalaire

Posté par
Jean24578
re : Exercice triangle 26-03-18 à 21:51

Merci de votre réponse, après avoir décomposé les vecteurs via A, je me retrouve avec 2MA.AB - 2MA.AC - AC^2 + AB^2, (ce sont des vecteurs évidemment) mais je ne parviens pas à factoriser pour obtenir un produit scalaire. J'ai tenté en développant AM.BC=0 mais je ne parviens pas non plus à retomber sur MB^2 et MC^2

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice triangle 26-03-18 à 21:56

2MA.AB -2MA.AC c'est 2MA(AB-AC) = ... (en vecteurs bien sur)
c'est cela "factoriser"

et - AC^2 + AB^2, (en vecteurs ou pas) tu peux en calculer la valeur numérique

et donc réécrire MB^2 - MC^2 = -24 en tenant compte de tout ça

(ne pas oublier le second membre "-24" bien sur ...)

Posté par
Jean24578
re : Exercice triangle 26-03-18 à 22:08

J'étais parvenu à 2MA.CB -24 tout en oubliant que cela était égal à -24 ^^
Ça donne donc 2MA.CB -24 = -24,  2MA.CB = 0, MA.CB=0 et donc MA et CB sont orthogonaux, c'est bien ça ?

Posté par
Priam
re : Exercice triangle 26-03-18 à 22:19

Oui.

Posté par
Jean24578
re : Exercice triangle 26-03-18 à 22:20

Merci de votre réponse et surtout merci beaucoup mathafou pour votre aide !



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