Bonjour
Quand on choisit arbitrairement trois nombres, la probabilité de construire un triangle, de longueurs de cotés ces trois nombres, est de 1/4.
On désire trois réels dont la somme est 20 pour construire un triangle ayant des longueurs de côtés ces trois réels mais avec une probabilité de 2/3.
Quels réels faut-il choisir?
bonjour dpi et Sipok
En effet , il y a , en principe, 2 cas favorables pour 1 non favorable et tout événement certain a pour probabilité 1 et non pas 2/3 . Donc p(5/6/9; 8/8/4 etc...) = 1 mais pas 2/3
Bonsoir ming.
Je m'interroge sur sur le sens de ta question.
Déjà l'affirmation
Bonsoir verdurin
Dans la présentation, on choisit "au hasard" trois nombres et l'on sait qu'ils ne mesurent pas toujours les côtés d'un triangle (non aplati) mais une fois sur quatre.
Qu'est-ce qui est douteux? Ce qui peut l'être, c'est la façon de choisir "au hasard" ces trois nombres. Par exemple, on peut demander à trois personnes de choisir chacune "au hasard" un nombre.
Ensuite,
Re dpi et Sipok
Vous pouvez oublier ma remarque...
Vos réponses n'étant pas justifiées, pouvez-vous m'éclairer?
Bonjour,
Tout d'abord pour un total de 20 pour 3 nombres a,b,c ,il y une liste acceptable.
Dans cette liste on élimine les cas a<b+c b<a+c c <a+b.
Il ne reste que 8 candidats.
Un petit coup d'Al Kashi /Héron et on en trouve deux.
donc 2/8 sauf erreur.
bonjour verdurin
Effectivement, dans la présentation, il manquait la somme n des mesures des trois côtés a, b et c.
Donc , n est donné , on choisit au hasard a et b tels que a + b < n.
La probabilité de l'évènement: a, b et c = n-(a+b) sont les mesures des côtés d'un triangle non aplati est 1/4.
a, b et n sont réels strictement supérieurs à 0.
Je crois que la démonstration est due à Emile Lemoine; il utilise une propriété du triangle équilatéral: la somme des distance d'un point intérieur au triangle aux trois côtés égale la longueur de la hauteur.
Bonsoir ming.
Effectivement, j'aurai du y penser.
Mais je suis bêtement parti sur trois nombre tirés uniformément dans [0;1].
Ce qui donne une probabilité de 1/2 d'avoir un triangle.
Pour ta question j'ai trouvé deux solutions, mais elles sont vraiment inélégantes.
Je vais essayer de penser encore un peu avant de les poster.
Bonsoir.
Une possibilité.
Bonsoir ming.
En fait j'ai interprété « tirer au hasard uniformément trois nombres dont la somme est 20 » par « choisir au hasard uniformément et indépendamment deux nombres x et y entre 0 et 20 ».
En prenant a =min(x,y) et b=max(x,y) les nombres tirés pour les côtés sont a, b-a et 20-b.
On a alors un schéma mois symétrique que le triangle équilatéral, mais plus exploitable.
les points bleus ( et rouges ) correspondants aux cas où on peut avoir un triangle, éventuellement aplati.
Ceci étant dit, j'espérais une solution en modifiant les densités de x et y.
Mais je suis certain ( ou presque ) que l'on ne peut pas obtenir une probabilité supérieure à 1/2 sans abandonner l'indépendance entre x et y.
Bonsoir ming.
Je crois que nos approches sont assez différentes.
Ce qui est bien c'est que l'on trouve le même résultat.
Sinon, une voie que je trouve plus satisfaisante.
La valeur du périmètre n'a aucune importance. On peut donc prendre un périmètre égal à 1.
On le coupe en deux suivant une loi bêta dont les deux paramètres sont égaux à b (ce qui assure une symétrie des coupes).
On recoupe le morceau le plus long ( ce qui assure de façon simple la dépendance entre les deux coupes) suivant la même loi, via une proportionnalité à sa longueur.
Pour b=1 on trouve un résultat légèrement inférieur à 2/3 et pour b=2 un résultat supérieur à 2/3.
Il y a donc une valeur de b situé entre 1 et 2 qui donne le résultat voulu.
Mais j'ai beaucoup de mal avec le calcul numérique d'intégrales doubles. (Pour b=1 et b=2 le calcul exact est assez simple).
Je vais quand même réessayer, mais premières tentatives m'ayant conduit à des résultats aberrants.
bonsoir verdurin
je ne connais pas la loi mais est-ce nécessaire?
De plus, j'ai passé l'âge des intégrales multiples mais je lirai volontiers ta démonstration car je trouve que tu as du mérite d'approfondir ce sujet: je n'ai pas la même curiosité.
Bonjour,
Pour ma part ,ma réponse ne se base que sur des Naturels et non des
Réels.
Il y a 2 triplets sur 8 possibles ce qui simplifiait grandement le problème
Bonsoir.
Pour le schéma de départ
En prenant le cas les segments mesurent .
On écrit les inégalités triangulaires :
Ce qui donne le triangle bleu en bas et à droite.
L'autre triangle est obtenu par symétrie, en supposant .
Ensuite
L'idée de base est que si on recoupe au milieu le plus grand morceau obtenu après le premier partage, on peut toujours faire un triangle.
On est sur les lignes vertes du schéma ci-dessus.
Il convient donc, pour augmenter la probabilité d'avoir un triangle, de recouper le plus grand morceau aux alentours du milieu.
Pour des raisons esthétiques, j'ai décidé que les lois de de partages du premier segment et du morceau le plus long après le premier partages devaient être identiques ( à un facteur d'échelle près ) et à densités continues et symétriques.
J'ai donc regardé des densités proportionnelles à un facteur d'échelle près pour la seconde coupe.
C'est à dire que la variable aléatoire X donnant la position de la première coupe suit une loi bêta de paramètres b+1 et b+1, et que, si x est la longueur du plus grand morceau, la variable aléatoire Y donnant la position de la seconde coupe est telle que Y/x suit une loi bêta de paramètres b+1 et b+1.
Une image pour les densités correspondants à b=1, b=2.5 et b=3. Quand b augmente, la densité se concentre vers le milieu du segment.
Le calcul
En utilisant la symétrie entre x et 1-x, on peut supposer Ce qui entraîne que le résultat obtenu doit être multiplié par 2.
On voit sur le dessin ci-dessus que, X=x étant donné, on a un triangle quand Y est entre x-1/2 et 1/2.
Et donc Y/x entre 1-1/(2x) et 1/(2x).
En désignant par f la densité commune de Y/x et de X on a donc
puis
.
Il est évident que la probabilité d'avoir un triangle est une fonction croissante de b.
J'ai fait du calcul numérique avec XCas, quand j'ai réalisé que la loi bêta faisait certainement partie de son répertoire.
g désignant la fonction qui associe à un exposant b la probabilité g(b) d'avoir un triangle quand X et Y/x suivent la loi bêta de paramètres b et b on a :
g(b):=2*nInt(betad(b,b,x)*betad_cdf(b,b,1-0.5/x,0.5/x),x,0.5,1)
bonjour verdurin
Excuses mais je n'ai pas pu te lire jusqu'au bout...
Je n'ai plus le niveau suffisant (ni l'envie) de comprendre cette théorie.
(l'Envie est un restaurant à côté de Toulon : cet envie me tente plussss)
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