Erreur d'énoncé:

On dit:
L est le barycentre de (A,1) et (D,3).
L est le barycentre de (C,1) et (D,3).

Je suppose que c'est:
K est le barycentre de (A,1) et (D,3).
L est le barycentre de (C,1) et (D,3).
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Dans le repère (A ; AB ; AC), on a:

A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
C(0 ; 1)
D(a ; b)

G(1/3 ; 1/3)

I(1/2 ; 0)
J(1/2 ; 1/2)

K est le barycentre de (A,1) et (D,3)

X(K) = (X(A) + 3.X(D))/(1+3)
X(K) = (X(A) + 3.X(D))/4
Y(K) = (Y(A) + 3.Y(D))/4

K(3a/4 ; 3b/4)

L est le barycentre de (C,1) et (D,3)
X(L) = (X(C) + 3.X(D))/4
Y(L) = (Y(C) + 3.Y(D))/4

L(3a/4 ; (1+3b)/4)

Equation de (IK):
I(1/2 ; 0)
K(3a/4 ; 3b/4)

y = [0,75b/(0,75a-0,5)]x - [0,75b/(0,75a-0,5)]/2
y = (3b/(3a-2)).x - (3b/(3a-2))/2

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Equation de (JL):
J(1/2 ; 1/2)
L(3a/4 ; (1+3b)/4)

y = [((1+3b)/4 - 0,5)/((3a/4) - 0,5)]x + k
y = [(-1+3b)/(3a - 2)]x + k

1/2 = [(-1+3b)/(3a - 2)]/2 + k
1 = [(-1+3b)/(3a - 2)] + 2k
2k = 1 - [(-1+3b)/(3a - 2)]
2k = (3a-2+1-3b)/(3a-2)
k = (3a-3b-1)/(2.(3a-2))

y = [(-1+3b)/(3a - 2)]x + (3a-3b-1)/(2.(3a-2))
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Equation de (DG):
D(a ; b)
G(1/3 ; 1/3)

y = (b-(1/3))/(a-(1/3))x + k'
y = [(3b-1)/(3a-1)]x + k'

1/3 = [(3b-1)/(3a-1)]/3 + k'
1 = [(3b-1)/(3a-1)] + 3k'
3k' = 1 - [(3b-1)/(3a-1)]
3k' = (3a-1-3b+1)/(3a-1)
k' = (a-b)/(3a-1)

y = [(3b-1)/(3a-1)]x +  (a-b)/(3a-1)
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Soit P le point de rencontre de (IK) et (JL), on trouve ses coordonnées en résolvant le système:

y = (3b/(3a-2)).x - (3b/(3a-2))/2
y = [(-1+3b)/(3a - 2)]x + (3a-3b-1)/(2.(3a-2))

(3b/(3a-2)).x - (3b/(3a-2))/2 = [(-1+3b)/(3a - 2)]x + (3a-3b-1)/(2.(3a-2))
(3b).x - (3b/2) = (-1+3b)x + (3a-3b-1)/2
0 = -x + (3a-1)/2
x = (3a-1)/2

y = (3b/(3a-2)).(3a-1)/2 - (3b/(3a-2))/2
y = [(3b/(3a-2))/2](3a-2)
y = 3b/2

--> P((3a-1)/2 ; 3b/2)
---
Les coordonnées de P vérifient-elles l'équation de (DG) ?

y = [(3b-1)/(3a-1)]x +  (a-b)/(3a-1)

3b/2 =? [(3b-1)/(3a-1)](3a-1)/2+  (a-b)/(3a-1)

3b(3a-1) =? (3b-1).(3a-1) + 2(a-b)

9ab - 3b =? 9ab -3b -3a + 1  + 2a- 2b

0 =? -a + 1 - 2b

Et c'est raté.

Il y a au moins une erreur quelque part. Soit c'est l'énoncé avec ce que j'ai signalé au début et peut-être mal modifié.

Ou alors je me suis planté, ce qui est fort probable, mais je n'ai pas le courage de chercher où.

En faite c'est :
L est le barycentre de (A,1) et (D,3).
K est le barycentre de (C,1) et (D,3).


Sinon j'ai pas vraiment comprit ta méthode

Voila le machin avec l'énoncé corrigé.

Dans le repère (A ; AB ; AC), on a:

A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
C(0 ; 1)
D(a ; b)

G(1/3 ; 1/3)

I(1/2 ; 0)
J(1/2 ; 1/2)

L est le barycentre de (A,1) et (D,3)

X(L) = (X(A) + 3.X(D))/(1+3)
X(L) = (X(A) + 3.X(D))/4
Y(L) = (Y(A) + 3.Y(D))/4

L(3a/4 ; 3b/4)

K est le barycentre de (C,1) et (D,3)
X(K) = (X(C) + 3.X(D))/4
Y(K) = (Y(C) + 3.Y(D))/4

K(3a/4 ; (1+3b)/4)

Equation de (IK):
I(1/2 ; 0)
K(3a/4 ; (1+3b)/4)

y = [(0,25+0,75b)/(0,75a-0,5)]x + k
y = [(1+3b)/(3a-2)]x + k
y = [(1+3b)/(3a-2)]x - [(1+3b)/(2.(3a-2))]

---
Equation de (JL):
J(1/2 ; 1/2)
L(3a/4 ; 3b/4)

y = [(0,75b-0,5)/(0,75a-0,5)]x + k
y = [(3b-2)/(3a-2)]x + k
(1/2) = [(3b-2)/(3a-2)]/2 + k
1 = [(3b-2)/(3a-2)] + 2k
2k = 1 - [(3b-2)/(3a-2)]
2k = (3a-2-3b+2)/(3a-2)
k = (3a-3b)/(2.(3a-2))

y = [(3b-2)/(3a-2)]x + (3a-3b)/(2.(3a-2))

---
Equation de (DG):
D(a ; b)
G(1/3 ; 1/3)

y = (b-(1/3))/(a-(1/3))x + k'
y = [(3b-1)/(3a-1)]x + k'

1/3 = [(3b-1)/(3a-1)]/3 + k'
1 = [(3b-1)/(3a-1)] + 3k'
3k' = 1 - [(3b-1)/(3a-1)]
3k' = (3a-1-3b+1)/(3a-1)
k' = (a-b)/(3a-1)

y = [(3b-1)/(3a-1)]x + (a-b)/(3a-1)
---
Soit P le point de rencontre de (IK) et (JL), on trouve ses coordonnées en résolvant le système:

y = [(1+3b)/(3a-2)]x - [(1+3b)/(2.(3a-2))]
y = [(3b-2)/(3a-2)]x + (3a-3b)/(2.(3a-2))

[(1+3b)/(3a-2)]x - [(1+3b)/(2.(3a-2))] = [(3b-2)/(3a-2)]x + (3a-3b)/(2.(3a-2))
x - (1/2) = -2x + 3a/2
2x-1 = -4x+3a
6x = (3a+1)
x = (3a+1)/6

y = [(3b-2)/(3a-2)](3a+1)/6 + 3(a-b)/(2.(3a-2))
y = [(3b-2).(3a+1)/3  + 3(a-b) ]/(2.(3a-2))
y = (1/6).[(3b-2).(3a+1)  + 9(a-b) ]/(3a-2)
y = (1/6).(9ab+3b-6a-2+9a-9b)/(3a-2)
y = (1/6).(9ab-6b+3a-2)/(3a-2)
y = (1/6).(3b(3a-2)+3a-2)/(3a-2)
y = (3b+1)/6

--> P((3a+1)/6 ; (3b+1)/6 )


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Les coordonnées de P vérifient-elles l'équation de (DG) ?

y = [(3b-1)/(3a-1)]x + (a-b)/(3a-1)

(3b+1)/6 =? [(3b-1)/(3a-1)](3a+1)/6 + (a-b)/(3a-1)
(3b+1) =? [(3b-1)/(3a-1)](3a+1) + 6.(a-b)/(3a-1)
(3b+1)(3a-1) =? (3b-1).(3a+1) + 6.(a-b)
9ab-3b+3a-1 =? 9ab+3b-3a-1+6a-6b
9ab-3b+3a-1 =? 9ab-3b+3a-1

--> OK, les droites (IK), (JL) et (DG) sont concourantes en un point de coordonnées (((3a+1)/6 ; (3b+1)/6 ), soit H ce point.

On a: H(((3a+1)/6 ; (3b+1)/6 )
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Sauf distraction.  

Merci beaucoup