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exo d'arithmétique diviseur

Posté par
enguerrand11
08-08-22 à 14:31

Bonjour, je bloque sur cet exo, je serais ravi d'avoir un peu d'aide !
Combien existe-t-il de nombres naturels multiples de 15 possédant exactement 15 diviseurs positifs ?

Posté par
carpediem
re : exo d'arithmétique diviseur 08-08-22 à 14:39

salut

un multiple de 15 s'écrit m = 15p

combien de diviseurs peut alors avoir 15p ?

indication : préciser différents cas pour p ... éventuellement ...

enfin et surtout sais-tu déterminer le nombre de diviseurs de 12 par exemple ?

Posté par
enguerrand11
re : exo d'arithmétique diviseur 08-08-22 à 14:49

Oui biensur, les nombre de diviseurs de 12 est de :
12 = 2^2 \times 3^1
On a donc [tex] (2+1) \times (1+1)[tex] diviseurs.
Soit 6 diviseurs.

Posté par
enguerrand11
re : exo d'arithmétique diviseur 08-08-22 à 14:50

enguerrand11 @ 08-08-2022 à 14:49

Oui biensur, les nombre de diviseurs de 12 est de :
12 = 2^2 \times 3^1
On a donc [tex] (2+1) \times (1+1)[\tex] diviseurs.
Soit 6 diviseurs.

Posté par
carpediem
re : exo d'arithmétique diviseur 08-08-22 à 16:05

alors maintenant tu peux résoudre tout seul ton pb ...

Posté par
co11
re : exo d'arithmétique diviseur 09-08-22 à 12:08

Bonjour,
j'aimerais rajouter une question carpediem si tu veux bien

Posté par
carpediem
re : exo d'arithmétique diviseur 09-08-22 à 14:04

co11 : vas-y, vas-y ... tant que ça ne divulgue pas trop la réponse ...

Posté par
co11
re : exo d'arithmétique diviseur 09-08-22 à 18:46

Bah, je risque de trop en dire justement. Donc je vous laisse  

Posté par
enguerrand11
re : exo d'arithmétique diviseur 09-08-22 à 19:54

co11 @ 09-08-2022 à 18:46

Bah, je risque de trop en dire justement. Donc je vous laisse  
Bonjour,  j'avoue que je ne serais pas contre un peu d'aide co11 ...

Posté par
carpediem
re : exo d'arithmétique diviseur 09-08-22 à 21:01

enguerrand11 @ 08-08-2022 à 14:49

le nombre de diviseurs de 12 est   (2+1) \times (1+1) = 6  car   12 = 2^2 \times 3^1

et que peut-on dire de 15 ? (ou encore comment peut-on avoir 15 diviseurs ?)

Posté par
co11
re : exo d'arithmétique diviseur 10-08-22 à 15:48

Ah c'était à peu près ma question
A toi enguerrand11, ça aide bien

Posté par
Manny06
re : exo d'arithmétique diviseur 10-08-22 à 18:47

pour 3^1x5^1xp^n   il y a 2x2x(n+1) diviseurs  qu'en penses-tu ?

Posté par
enguerrand11
re : exo d'arithmétique diviseur 15-08-22 à 16:19

Rebonjour, alors j'ai un peu avancé et j'ai trouvé ca :
 15 = 3 \times 5
Un nombre qui a 15 diviseurs se construit de la forme :  p^x \times p^y avec p premier et  (x+1)\times(y+1) = 15
Or une autre de mes conditions est que ce nombre est un multiple de 15, donc il est aussi construit de la forme :  3\times5 \times p
On sait donc que 15 a deja 4 diviseurs car  (1+1)(1+1) = 4.
Or ici je tombe dans une impasse : je dois résoudre l'équation suivante :
 4(l+1) = 15 je la résous donc et trouve  l = 4,75
Or, je ne peux trouver un nombre égal a  3\times 5 \times p^{4,75}
Comment pourrais-je faire ?

Posté par
carpediem
re : exo d'arithmétique diviseur 15-08-22 à 17:13

tu peux aussi écrire 15 = (0 + 1) * (0 + 1) * (0 + 1) * ... (0 + 1) * 3 * 5

que veulent dire ces 0 + 1 ?

indication :

carpediem @ 09-08-2022 à 21:01

enguerrand11 @ 08-08-2022 à 14:49

le nombre de diviseurs de 12 est   (2+1) \times (1+1) = 6  car   12 = 2^2 \times 3^1

et que peut-on dire de 15 ? (ou encore comment peut-on avoir 15 diviseurs ?)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : exo d'arithmétique diviseur 15-08-22 à 19:10

Bonsoir,
Vu que enguerrand11 semble dans une impasse, je lui propose de démarrer un peu différemment.
On cherche un nombre N multiple de 15.
3 et 5 figurent donc dans la décomposition en facteurs premiers de N.
L'exposant de 3 peut-il être 1 ?
Quels sont les exposants possibles de 3 ?
Idem pour 5.

Posté par
Razes
re : exo d'arithmétique diviseur 16-08-22 à 09:35

Bonjour,

La decomposition unique d'un entier naturel  N>0 s'ecrit : N=p_1^{\alpha_1}p_2^{ \alpha_2 }p_3^{\alpha_3} \hdots p_n^{\alpha_n}=2^{\alpha_1}3^{\alpha_2}5^{\alpha_3} \hdots p_n^{\alpha_n} avec p_i les nombres premiers.

Si N est multiple de 15 , quelles condition à t on sur  \alpha_2 et   \alpha_3

Connais tu la formule du nombre de diviseurs de N en fonction des  \alpha_i

Quelle condition as tu concernant le nombre de diviseurs?

Resoudre

Posté par
co11
re : exo d'arithmétique diviseur 19-08-22 à 19:16

Bonsoir,
enguerrand11, je pense que j'avais répondu trop vite, oublie mes messages.
La piste proposée par Sylvieg le 15/08 devrait bien t'aider. En tout cas, elle m'a permis de me rendre compte que je partais sur une idée fausse.



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