Bonjour,

Pouvez vous corriger ma réponse svp.

Enoncé:
n désigne un entier naturel non nul. Soit l'équation
(En) : = 1.
Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, l'équation (E) admet une seule solution réelle positive.
On note rn ce nombre réel positif solution de (E).
Existe-t-il un entier naturel n tel que  rn < 0,5 ?
Existe-t-il un entier naturel n tel que rn  < 0,51?


Ma réponse :

1.   On pose fn(x) = xn + xn-1 + ... + x - 1  , x dans I = [0 ; +oo[.
Cette fonction est strictement croissante sur I comme somme de fonctions strictement croissantes.
De plus, elle est continue et fn(0) = -1
et lim (x->+oo) fn(x) = +oo

L'image de I par fn est donc l'intervalle J = [-1 ; +oo[ et f est une bijection de I sur J.
En particulier, comme 0 appartient à J, on en déduit l'existence et l'unicité de la solution rn .
De plus, comme fn(1) est > 0 , on en déduit que pour n > 0 ,
0 < rn < 1.
Comme fn est strictement croissante sur [0;+oo[, on a aussi:
"Pour tout x > 0 , fn(x) > 0  si et seulement si x > rn "

2.  remarquons que pour tout x > 0 , on a:
fn(x)(x-1) = (x⁽ⁿ⁺¹⁾ + x^n + .... + x^2 - x) - (x^n + x^(n-1) + .... + x - 1)
                = x⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2x + 1.  (égalité 1)
Sur l'intervalle [0;1] , xn+1 - 2x + 1 est donc du signe contraire de fn(x).

Peut-on avoir rn < 0,5 ?
D'après l'égalité (1) , on a : fn(0,5) = -2(0,5)n+1  < 0.
On en déduit que pour tout n , rn est > 0,5, la réponse est donc NON.

Peut-on avoir rn< 0,51 ?
D'après l'égalité (1), on a : -0,49fn(0,51) = (0,51)n+1 - 0,02
On sait que si n tend vers +oo alors (0,51)ⁿ⁺¹ tend vers 0 en décroissant.
Donc, à partir d'une certaine valeur N, si n est > N alors (0,51)ⁿ⁺¹ - 0,02 est < 0 et donc fn(0,51) > 0.
Il existe donc bien un entier naturel n tel que rn soit < 0,51.
Un simple calcul "machine" montre d'ailleurs que (0,51)⁴- 0,02 est > 0 et (0,51)⁵ - 0,02 est < 0.
On peut donc dire que rn est < 0,51 pour n > 4.

merci