la 2ème lim est e (environ 2.71...)

Salut

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Au feeling, sans stylo je tente p/2 et e

salut,

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sais pas si j'ai bon mais j'ai surement faux...Je pense qu'il y a un piégé...
en tend vers 0 donc

mais j'ai déjà vu ce problème et quelque chose me dit que hallow qui n'a pas blanqué a bon...

geronimo :

est une forme indéterminée

Passe à la forme exponentielle-logarithme et essaie de faire apparaître la limite connue lim ln(1+t)/t=1 en 0

C

Salut

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1) Ca tend vers p/2

pour trouver le réusltat on utilises la dèf de la partie entière : E(x) x < E(x)+1

Donc en particulier : x-1 < E(x) x . On utilises ça avec x = kp et on somme.

2) Ca tend vers e

Oups désolé, petite erreur de manip.

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Et donc ca me fait penser pour (1+1/n)^n à mon prof qui disait que les profs avaient entendu toutes les explications les plus farfelues sur cette limite qui est pourtant pas compliquée(quand on a les outils de sup).

La 2eme est donc ultra connue, je ne détaille pas. Des équivalents simples suffisent à montrer que ca tend vers e.

La 1ere est moins classique(enfin... ca correspond quand même au 1er réflexe qu'on a quand on voit une partie entière) mais tout aussi simple : on encadre pour tout k E(kp) par kp et kp-1, on somme et on a le résultat.

gui_tou >> ok, je ne savais pas que était une forme indéterminé_{on n'apprend rien dans mon lycée ou quoi...}!

Soit y=(1+1/n)[sup][/sup]n ; y>0
ln(y)=n*ln(1+1/n)
     =[ln(1+1/n)]/(1/n)
limite[ln(y)]quand n0est=1
limite(y)quand n0est=e

(1 + 1/n)^n = exp(n*ln(1+1/n)) = exp(n*(1/n - 1/2n² + o(1/n²)) = exp(1 - 1/n + o(1/n))
            = exp(1)exp(1/n + o(1/n)) = exp(1)

En effet de bonnes réponses, voici ma correction (pour le 2 j'avais pas vu la "limite connue")

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c'est vrai que les défis pour les terminales sont peu nombreux... merci en tout cas matovitch pour en proposer...

_{j'avais trouvé la deuxième mais la première me plaisait pas du tout, j'ai horreur des partie entiére!}

par contre quelqu'un peut m'explique pourquoi est une forme indéterminer car ça revient à multiplier par 1 une infinité de fois donc ça devrait faire 1, non? une donnée m'échappe?

Bonsoir Geromino !
Attention, quand on dit que est indéterminée, c'est que si tu a une expression qui tend vers 1 et une expression b_n qui tend vers , on ne sait pas vers quoi va tendre .
Si a_n ne tend pas assez vite vers 1 ce sera +\infty...si c'est trop rapide 1, mais comme tu le vois cela peut s'équilibrer.

Oups geronimo.

d'accord, ok! merci pour cette explication, j'y vois plus clair...

Moi je trouve que faire apparaître ln(1+t)/t c'est chic (et ça ne nécessite presque aucune connaissance particulière (ni DL, ni concavité)



*** message déplacé ***

Salut gui_tou

Oui, mais tu utilises quand même la continuité de l'exponentielle pour pourvoir passer à la limite

gui_tou >> Tu utilises là (même si c'est un cas simple) l'Hospital, qui n'est pas vu en terminale.
Et il est facile de trouver que car ln est de plus en plus "droit" en .
J'aurais accepté des justifications moins formelles que l'inégalité due à la concavité.

gui_tou >> j'y suis arrivé par ta méthode_{tu m'avais mis la puce à l'oreille en même temps} car la concavité des logarithmes, moi pas connaître...

Je voulais dire

gero >> pour visualiser l'inégalité :


en

en

en

Tu remarqueras que les 2 tangentes sont de plus en plus proche...c'est pourquoi je dit que
(même si est une meilleure approximation)

Matovitch >

Non non ce n'est pas l'Hospital ... tout juste le nombre dérivé en 0 de ln(1+x) !

Lyonnais > Grrrr

Oui, bon, j'aurais du mal à avouer que ta technique est plus simple que la tienne.