Bonjour à tous !
Voici 2 calculs indépendants :
Soit , calculez .
Calculez .
Merci d'avance de vos réponses (blankées) et bon courage à tous !
geronimo :
est une forme indéterminée
Passe à la forme exponentielle-logarithme et essaie de faire apparaître la limite connue lim ln(1+t)/t=1 en 0
gui_tou >> ok, je ne savais pas que était une forme indéterminéon n'apprend rien dans mon lycée ou quoi...!
Soit y=(1+1/n)[sup][/sup]n ; y>0
ln(y)=n*ln(1+1/n)
=[ln(1+1/n)]/(1/n)
limite[ln(y)]quand n0est=1
limite(y)quand n0est=e
(1 + 1/n)^n = exp(n*ln(1+1/n)) = exp(n*(1/n - 1/2n² + o(1/n²)) = exp(1 - 1/n + o(1/n))
= exp(1)exp(1/n + o(1/n)) = exp(1)
En effet de bonnes réponses, voici ma correction (pour le 2 j'avais pas vu la "limite connue")
c'est vrai que les défis pour les terminales sont peu nombreux... merci en tout cas matovitch pour en proposer...
j'avais trouvé la deuxième mais la première me plaisait pas du tout, j'ai horreur des partie entiére!
par contre quelqu'un peut m'explique pourquoi est une forme indéterminer car ça revient à multiplier par 1 une infinité de fois donc ça devrait faire 1, non? une donnée m'échappe?
Bonsoir Geromino !
Attention, quand on dit que est indéterminée, c'est que si tu a une expression qui tend vers 1 et une expression b_n qui tend vers , on ne sait pas vers quoi va tendre .
Si a_n ne tend pas assez vite vers 1 ce sera +\infty...si c'est trop rapide 1, mais comme tu le vois cela peut s'équilibrer.
Moi je trouve que faire apparaître ln(1+t)/t c'est chic (et ça ne nécessite presque aucune connaissance particulière (ni DL, ni concavité)
*** message déplacé ***
Salut gui_tou
Oui, mais tu utilises quand même la continuité de l'exponentielle pour pourvoir passer à la limite
gui_tou >> Tu utilises là (même si c'est un cas simple) l'Hospital, qui n'est pas vu en terminale.
Et il est facile de trouver que car ln est de plus en plus "droit" en .
J'aurais accepté des justifications moins formelles que l'inégalité due à la concavité.
gui_tou >> j'y suis arrivé par ta méthodetu m'avais mis la puce à l'oreille en même temps car la concavité des logarithmes, moi pas connaître...
Je voulais dire
gero >> pour visualiser l'inégalité :
en
en
en
Tu remarqueras que les 2 tangentes sont de plus en plus proche...c'est pourquoi je dit que
(même si est une meilleure approximation)
Matovitch >
Non non ce n'est pas l'Hospital ... tout juste le nombre dérivé en 0 de ln(1+x) !
Lyonnais > Grrrr
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