Bonjour

J'étais sur le point de le mettre!

Je mets quand même ma solution qui est un peu moins classique (enfin, j'espère).

 Cliquez pour afficher

J'utilise la caractérisation suivante des connexes: X est connexe si et seulement si toute fonction continue de X dans l'espace discret {0,1} est constante. J'ai toujours pensé que c'était la caractérisation la plus maniable!
Soit continue. Comme H est connexe, toutes les classes d'équivalence qui lui sont homéomorphes le sont. Donc la restriction de f à chaque classe est constante. La propriété universelle du quotient dit qu'il existe une et une seule fonction continue telle que (où est la surjection canonique). Mais comme G/H est connexe, est constante, donc f est constante!

Salut Camélia

J'avais la même démo, je regarde ton exercice.

Salut tout le monde

Camélia >>

 Cliquez pour afficher

Il est même connexe par arcs non? Enfin, j'ai pas fait le lien avec l'exo de Jord, c'est ça qui doit être surtout difficile.

J'ai bien une idée mais elle n'a pas vraiment de rapport avec mon énoncé (j'utilise des actions de groupe). As-tu un indice sur ton raisonnement?

On peut démontrer directement que est connexe (même par arcs) avec des manips sur les coordonnées sphériques.

Ici, je suggérais d'utiliser le théorème que Jord venait de citer. On regarde comme sous-groupe de (les matrices dont la dernière colonne est (0,0,...0,1)) et on le suppose connexe. Le jeu est de montrer que G/H est homéomorphe à Sⁿ qui est bien connu pour être connexe!

Re

On a un isomorphisme entre G et H*(G/H) mais est-ce-qu'on a un homéomorphisme?

Ici, H n'est pas distingué, donc ce qu'on a de mieux c'est une bijection entre G et H(G/H). C'est probable que dans ce cas particulier c'est un homéomorphisme. La méthode que je suggère se limite à prouver que G/H est homéomorphe à Sⁿ.

Ok mais dans le cas général où se plaçait l'exo de Jord? Ca serait génial qu'on ait systématiquement un isomorphisme et un homéomorphisme!

Dans le cas général, H n'est justement pas distingué, donc pas d'isomorphisme! je ne suis pas sûre qu'il y ait toujours homéomorphisme, un groupe topologique n'a à priori aucune raison d'être un produit!

Par ailleurs, je signale quand même que même si H est distingué, en général G et HG/H ne sont pas isomorphes. Voir G=(Z/4Z) et H=(2Z/4Z).

Oups... c'est vrai. Merci.

Bonsoir

Moi aussi je reviens, parce que hier j'ai eu un peu de retard à l'allumage. Même topologiquement ça ne marche pas. et ne sont pas homéomorphes.

Pour n=2, est iso et homéomorphe à vu comme groupe multiplicatif des complexes de module 1. est iso et homéomorphe à vu comme groupe multiplicatif des quaternions de module 1. Et bien sur, n'est pas homéomorphe à . L'application ici décrite est une manière de voir la fibration de Hopf.

Encore moi! je vais écrire la solution, parce qu'elle est belle et utilise une foultitude de théorèmes!

 Cliquez pour afficher

est connexe. On suppose que est connexe.

Tous les sont compacts (fermés bornés dans l'espace des matrices nn)

On injecte dans en complétant une matrice de par un 1 sur la diagonale en bas et des 0 sur le reste de la dernière ligne et de la dernière colonne. J'appelle H l'image qui est un sous-groupe iso et homéomorphe à , donc compact connexe.

Alors H est fermé dans , donc G/H est séparé ( Propriété d'un groupe topologique connexe).

Comme la surjection canonique est continue, comme G est compact et comme G/H est séparé, on voit que G/H est compact.

Soit l'application qui à une matrice fait correspondre sa dernière colonne. f est continue et surjective car un vecteur de norme 1 peut toujours être le dernier d'une base orthonormale directe (thm. de la base incomplète et Gram-Schmidt)

Seule partie un peu calculatoire (à faire):



et ceci montre l'existence de continue telle que et le fait qu'elle est injective.

Comme f était surjective, est une bijection continue définie sur un compact, à valeurs dans un séparé, donc un homéomorphisme. Par conséquant G/H est connexe comme OUF!!