Bonjour

En effet un sous-groupe d'un groupe topologique qui est ouvert est aussi fermé. Voilà pourquoi: Soit donc H un sous-groupe ouvert. Alors l'ensemble des classes à gauche (des xH) est une partition de G. Chaque classe est l'image de H par un homéomorphisme, (la multiplication par x) donc elle est ouverte. Mais alors le complémentaire de H est la réunion de toutes les autres classes, donc un ouvert, donc un fermé!

Je te laisse chercher un peu pour la séparation!

J'y pense; voilà une autre démonstration pour le fait que le sous-groupe H engendré par V est ouvert. Soit x dans H. Comme V est contenu dans H et contient e, on a . A nouveau, comme la multiplication par x est un homéomorphisme, xV est un voisinage de x. Donc H est voisinage de chacun de ses points, ce qui prouve qu'il est ouvert.

Merci Camélia

J'ai trouvé pour la séparation ce n'est pas pas difficile.

Non, ce n'est pas difficile. Je suppose que la question suivante est: Montrer que l'espace quotient G/H est séparé si et seulement si H est fermé. Non?

Hum d'ailleurs je ne sais pas si ce que j'ai fait est vraiment valable.

Le sens => est évident.

Pour le sens réciproque :

On sait qu'un espace est séparé si et ssi sa diagonale est fermée, or sa diagonale est l'image réciproque de {e} par l'application qui est continue donc la diagonale est fermée ...

Est-ce que la caractérisation de la séparation par la diagonale fermée marche encore pour un groupe topologique?

Non non, la question était de montrer que G était séparé ssi {e} est fermé.

cependant ta question est intéressante aussi, je vais essayer de la traiter.

Oui, c'est comme ça qu'on fait!

Bah en fait c'est un peu la même idée pour G/H et H non?

Oui, mais j'ai toujours fait ça en troisième question, alors mes réflexes jouent...

héhé, merci en tout cas Camélia

je continue la lecture de mon poly, il risque d'y avoir d'autres questions