Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.

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Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.
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Nightmare  02-06-07 à 14:52
Rebonjour 



Un nouvel exercice pour les terminales et plus (un peu difficile pour les terminales mais faisable avec un peu de conaissance théorique sur les limites des suites)



Soit (un)n une suite à termes strictements positifs telle que .

Montrer que 



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monrow re : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:03
Bonjour 



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On a pour tout A>0 il existe N de IN tel que pour tout n>=N u(n+1)/un>A => u(n+1)>Aun

donc: 

u1>Au0

u2>Au1

u3>Au2

.

.

.

un>Au(n-1)



On calcule le produit (sachant que les termes sont positifs bien sur), et on trouve après simplification: un>Au0



On note B=Au0



On a: pour tout B>0 il existe n de IN pour tout n>=N un>B

et puisque un est positive, donc un diverge vers +oo
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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:06
Monrow> 
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Non c'est faux, car l'inégalité u(n+1)>Aun n'est vraie qu'à partir d'un certain rang N, on ne sait pas à priori que N=0


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monrow re : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:12
Jord>>
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Ben non, il manque juste une petite précision, dans l'avant dernière ligne: 

On a: pour tout B>0 il existe N' de IN pour tout n>=N' un>B puis on déduit.. Sinon, ça nous intéresse pas comment se comporte la suite au début de ses termes, l'important c'est elle tend vers quoi en l'infini 
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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:13
Monrow>
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Non mais lorsque tu écris u1>Au0

u2>Au1

u3>Au2 etc... c'est faux puisque u(n+1)>Au(n) n'est vrai qu'à partir d'un certain rang N
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monrow re : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:15
Jord>> 
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mais c'est vraie au voisinage de l'infini? ce n'est pas intéressant le terme d'où on commence la démonstration 
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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:19
Monrow> 
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C'est vrai au voisinage de l'infini mais tu ne peux commencer à 0. dans l'inégalité finale tu vas obtenir un terme dépendant de N et donc la démonstration ne tient plus. De toute façon c'est inexact, (un) ne tend pas vers +oo (ce n'est pas ce qui est demandé qui plus est)
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monrow re : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:22
Jord>>
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hmmmm  une démonstration par absurde fera l'affaire? en supposant que un converge vers "l"? (il me manque tout un cerveau pour ça )
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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:24
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Il est clair que (Un) ne peut pas converger, mais rien ne l'empéche de ne pas avoir de limite 
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monrow re : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 15:26
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ben je viens de voir, c'est la racine nième, j'ai oublié donc la puissance "1/n" je revois.. je comprends alors qu'il ne faut as utiliser l'absurde, je réessaie. Tes défis sont vraiment intéressants et magnifiques  Merci 
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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  02-06-07 à 23:45
Alors, personne?
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anonymere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 00:13
Bonsoir,

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 soit Vn -> l, l appartient à R barre.

donc ln(Vn) -> ln(l) par continuité de la fonction ln...

par la moyenne de cesaro on a : 1/n sum (ln(Vi),i=1..n) -> ln(l)

or 1/n sum (ln(Vi),i=1..n) = ln (prod(Vi,i=1..n))

or la fonction x-> exp(x) est continue, donc par passage à la fonction exponentielle : prod(nrac(Vi),i=1...n) -> l

on choisit : Vi = Ui+1/Ui

donc prod(nrac(Vi), i =1..n) = nrac(Un/U0) -> + oo, donc nrac(Un) -> + oo ce qui achève la démonstration 

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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 00:18
hatimy > 
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Non ça ne marche pas, on ne peut appliquer la moyenne de césaro qu'à une suite qui converge, ce qui n'est pas le cas de U(n+1)/U(n)


 Posté par 
anonymere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 00:41
donc j'ai dû me tromper au niveau de ce théorème qui effectue ne s'applique pour les limites finies ...

Voici une seconde version :

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Quelque soit A appartenant à R, il existe N appartenant à N tel que quelque soit n>N, un+1/Un >A

par récurrence immédiate on montre que , Un/UN > A ^(n-N)

donc par passage à la racine nième : 

nrac(Un)> nrac(A^(n-N)*UN) (*)

or nrac(A^(n-N)*UN) -> 1, donc quelque soit epsilon > 0 on peut trouver nu > 0 tel que : |nrac(A^(n-N)*UN)- 1|<e

donc nrac(A^(n-N)*UN)> 1 -e,

d'ou (*) devient : nrac(Un) > A(1-e), il suffit donc de remodifier la valeur initiale de A pour montrer que quelque soit A' appartenant à R, on peut trouver N tel que n>=N => nrac(Un) > A'. D'ou le résultat ...

C'est encore faux ? 

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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 00:43
Oui c'est bon dans le fond.



 Posté par 
anonymere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 00:46
je te propose de lancer le défi qui découle de ma première erreur :

si Un+1/Un -> l montrer que : nrac(Un) -> l*nrac(U0) ... Qu'est ce que tu en penses ?
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Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 01:35
Hum c'est faux pour moi  converge vers l!
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kaiser re : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 01:41
Bonsoir



Nightmare > 
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le théorème de Césaro s'applique que la limite soit finie ou infinie.


Kaiser
  Posté par 
Nightmarere : Exo défi : Divergence d'une suite inconnue.  03-06-07 à 01:47
Kaiser > 
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Exact je viens de voir ça 


hatimy >  Cliquez pour afficher
Ta première démonstration est bonne