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* Exo défi : Expression d'une intégrale *

Posté par
gui_tou 17-05-08 à 13:50

Bonjour

En relisant mes cours de début de sup, je suis tombé sur un exo abordable par des terminales.

Citation :
On définit la fonction F pour 3$p \in{\bb N}^* par : 3$\forall x\in{\bb R},\;F(x)\,=\,\Bigint_0^x\,\sin^{2p}(t)dt

Donner une expression simplifiée de 3$F(x) pour 3$x\in{\bb R},\;p\in{\bb N}^*


Indication : des sommes doivent apparaître ..

Bonne réflexion

Posté par
mikayaoure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 14:42

salut guitou

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Posté par
gui_toure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 14:44

mika >

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Posté par
mikayaoure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 14:45

autre hypothèse de recherche

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Posté par
1 Schumi 1re : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 14:51

mika >>

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Posté par
mikayaoure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 14:52

oui, tu as raison Schumi

Posté par
gui_toure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 14:56

mika

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Posté par
ottore : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 14:58

guitou

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Posté par
gui_toure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 17-05-08 à 15:00

Arg, ça m'apprendra à mieux tenir mes brouillons.

Posté par
gui_toure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 18-05-08 à 11:23

Bon ok c'est assez calculatoire, je poste une solution dans la semaine.

Posté par
gui_toure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 18-05-08 à 15:21

Ayoub, je ne veux pas verdir ton topic donc ...   bête égalité

Posté par
gui_toure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 28-05-08 à 19:58

Tite proposition de correction.

Soient 3$x\in{\bb R},\;p\in{\bb N}^*

3$ \sin^{2p}(x)\,=\,{\(\fr{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)}^{2p}\,=\,\fr{1}{(2i)^{2p}}\times\(e^{ix}-e^{-ix}\)^{2p}\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)\(e^{ix}\)^k\,\times\(-e^{-ix}\)^{2p-k}

3$ \sin^{2p}(x)\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)e^{ikx}\,\times\(-e^{-ix(2p-k)}\)\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)(-1)^k e^{2ix(k-p)}

On peut se contenter de ne garder que la partie réelle, la partie imaginaire étant nulle :

3$ \sin^{2p}(x)\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)(-1)^k \cos\(2x(k-p)\)


Ainsi, 3$F(x)=\Bigint_0^x\sin^{2p}(t)dt\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{2p}\(2p\\k\)(-1)^k \Bigint_0^x\cos\[2t(k-p)\]dt

On pose 3$\varphi_k(x)=\Bigint_0^x\cos\[2t(k-p)\]dt

On a alors 3$\varphi_k(x)=\{\[\fr{1}{2(k-p)}\sin\[2t(k-p)\]\]_0^x=\fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)}\;\rm{si k\not=p}\\x\;\rm{si k=p

En scindant la somme en deux paquets,

3$F(x)\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{0\le k\le p-1}\(2p\\k\)(-1)^k \fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)}\,+\,\fr{(-1)^p}{4^p}\(2p\\p\)(-1)^p.x\,+\,\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{p-1\le k\le 2p}\(2p\\k\)(-1)^k \fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)}

3$\fbox{\fbox{\red\rm{Conclusion :}\\\forall p\in{\bb N}^*,\;\forall x\in{\bb R},\\\Bigint_0^x \sin^{2p}(t)dt\,=\,\fr{(-1)^p}{4^p}\(2p\\p\)(-1)^p.x\,+\,2\fr{(-1)^p}{4^p}\Bigsum_{k=0}^{p}\(2p\\k\)(-1)^k\,\times \fr{\sin\[2x(k-p)]}{2(k-p)}

Posté par
1 Schumi 1re : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 28-05-08 à 20:10

Posté par
Nightmarere : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 28-05-08 à 20:57

Mouai, je croyais que la consigne était de donner une expression simplifiée de F(x)

Au final quand on voit la somme discrète, on se dit qu'il vaut mieux garder la forme intégrale...

Posté par
gui_toure : * Exo défi : Expression d'une intégrale * 28-05-08 à 20:59

Oui comme je disais à Ayoub, j'aurais pas dû la poster en JFF, c'est assez calculatoire, moche, et ça ne sert pas à grand-chose


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