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Exo défi : Intégrale de fonction spéciale.
Bonjour à tous 
Je vous propose un exercice de calcul d'intégrale sympathique.
}dt)
Je mets des indices suivant les niveaux. Bien entendu vous n'êtes pas obligés de les lire 
:
Niveau spé :
Cliquez pour afficherAucun indice
Niveau sup :
Cliquez pour afficher Montrer que :
}dt=\Bigint_{x}^{x^{2}} \frac{dt}{ln(t)})
Niveau Terminale :
Cliquez pour afficher Utiliser l'indice du niveau sup et le résultat suivant :
Si u est une fonction continue et v une fonction positive, alors il existe un réel c de ]a,b[ tel que :
v(t)dt=u(c).\Bigint_{a}^{b} v(t)dt)
Posté par moctarre : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 14:50 Bonjour,
Cliquez pour afficher en utlisant l'indice de sup on a:
}dt=\Bigint_1^1 \frac{dt}{ln(t)}=0)
où est l'erreur ?
Posté par lyonnaisre : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 14:52 Salut Jord
Tout d'abord merci pour l'indice niveau spé 
Voici comment j'ai procédé :
Cliquez pour afficher En notant :
}dt)
1) On prouve que F est intégrable sur ]-1,+oo[
2) On utilise le théo de Leibnitz et on montre ainsi que F est de classe C
1 sur ]-1,+oo[
3) On peut alors dérivée et donc on obient pour tout x dans ]-1,+oo[
 = \Bigint_{0}^{1} t^x.(t-1)dt = \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}})
D'où :
Pour tout x dans ]-1,+oo[,
 = ln(\frac{x+2}{x+1}) + K})
4) J'utilise alors le théo de convergence dominée appliquée à une suite (x
n) qui tend vers +oo
J'obtiens alors :
 = 0)
Or on a de même :
 = 0)
Donc on en déduit
K = 0
Ainsi :
 = ln(\frac{x+2}{x+1}))
D'où :
=\Bigint_{0}^{1} \frac{t-1}{ln(t)}dt=ln(2)})
Sauf erreur
Posté par lyonnaisre : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 14:56 Nightmare >>
Cliquez pour afficher Rectification pour 1°)
On prouve que f est intégrable sur ]0,1[ pour x dans ]-1,+oo[
Moctar >>
Cliquez pour afficher L'égalité donnée par Jord n'est pas valable en x = 1
Posté par moctarre : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 14:58 Cliquez pour afficher ah oui,je suis désolé
,je n'avais pas bien regardé
Posté par lyonnaisre : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 15:00 moctar >>
Cliquez pour afficher C'est pas grave, au moins tu as essayé quelque chose !
Posté par Nightmarere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 15:08 Lyonnais >
Cliquez pour afficher Excellent
Posté par lyonnaisre : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 15:15 Nightmare >>
Cliquez pour afficher Merci
C'est vrai que c'est aussi plus facile quand on connait des théorèmes (assez lourd) ...
Mais je suis peut-être passé à coté de quelque chose de simple.
Je verrais en suivant la suite des réponses sur ce topic !
A+
Posté par monrow 
re : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 15:55 Cliquez pour afficher Bonjour Jord
Donc je réponds à l'indice des terminales puis je passe à celui du sup..
Puisque
est continue sur
![3$[a,b]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$[a,b])
donc
![3$u([a,b])=[m,M]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$u([a,b])=[m,M])
D'où:
\le M)
et puisque v est une fonction strictement positive donc:
\le u(x)v(x)\le Mv(x))
En appliquant l'intégrale et sachant que
donc:
dx\le \Bigint_a^bu(x)v(x)dx\le M\Bigint_a^bv(x)dx)
Et puisque:
>0)
donc:
dx>0)
d'où:
v(x)dx}{\Bigint_a^bv(x)dx} \le M)
Donc d'après le TVI, il existe un
de
tel que:
=\frac{\Bigint_a^bu(x)v(x)dx}{\Bigint_a^bv(x)dx})
Posté par Nightmarere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 15:56 Monrow > Il ne fallait pas montrer le résultat mais l'utiliser
Posté par monrow re : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 30-06-07 à 15:56 
c'est pas vrai 
Posté par Nightmarere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 12:40 Un petit up
Posté par elhor_abdelali 
re : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 13:25 Bonjour Nightmare ;
Cliquez pour afficher En fait je crois qu'il y'a plusieurs façons de calculer l'intégrale
}dt})
j'en donne deux
( avec celle de lyonnais ça fait 3 ) :
avec le changement de variable
})
on obtient l'intégrale généralisée convergente
on dit alors que
puis on sépare astucieusement l'intégrale
:
dans la première on fait
on a :
-\int_{a}^{2a}\hspace{5}\frac{e^{-u}}{u}du})
La fonction
\to x^y})
est continue sur
![\fbox{[a,1]\times[0,1]\\0<a<1}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\fbox{[a,1]\times[0,1]\\0<a<1})
(assez facile à vérifier) d'où par fubini :
dy=\int_{a}^{1}\hspace{5}(\int_{0}^{1}x^{y}dy)dx})
d'où
}dx})
ou encore
}dx=ln(2)-\int_{0}^{1}\hspace{5}\frac{a^{y+1}}{y+1}dx})
et en faisant tendre
vers
on a le résultat souhaité
(sauf erreur bien entendu)
Posté par lyonnaisre : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 15:07 Merci Elhor pour ces 2 méthodes
Cliquez pour afficher Ta première méthode : J'avais essayé de partir dans ce sens, avec le même changement de variable, mais je n'avais pas abouti
Ta deuxième méthode : Très astucieuse également. Elle revient à la même idée que ma méthode. C'est à dire introduire la fonction x
y
Merci d'avoir posté. De mon coté, je vais vérifier les conditions pour voir si on peut bien appliquer fubini :
( mais je pense qu'il n'y aura pas de problème ...
)
A+
Posté par Nightmarere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 15:17 Elhor>
Cliquez pour afficher Très jolie
On peut aussi utiliser fubini pour la première :
)
Posté par elhor_abdelali re : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 15:41 Merci Nightmare et lyonnais ;
Nightmare >
Cliquez pour afficher Dans la version du cours du théorème de Fubini on intégre une fonction
continue sur un
pavé compact ![[a,b]\times[c,d]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?[a,b]\times[c,d])
ceci dit ta méthode (astucieuse) peut se justifier comme ceci :
du=\int_{1}^{2}\hspace{5}(\int_{0}^{a}\hspace{5}e^{-ut}du)dt=\int_{1}^{2}\hspace{5}\frac{1-e^{-at}}{t}dt=ln(2)-\int_{1}^{2}\hspace{5}\frac{e^{-at}}{t}dt})
(sauf erreur)
Posté par fusionfroidere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 15:44 Salut elhor et la compagnie
Cliquez pour afficher Elhor, je crois me souvenir de ce résultat :
})
(qui se montre par exemple en utilisant le théorème de dérivation sous le signe somme)
On aurait pu l'utiliser directement non ?
Posté par fusionfroidere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 15:46 Oups désolé jord tu peux blanquer stp
Posté par fusionfroidere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 15:47
Posté par Nightmarere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 15:49
Elhor >
Cliquez pour afficher Exact, mais bon ça revient au même, quoi qu'il faille rajouter quelque juste pour justifier la nullité de la limite de l'intégrale qui suit ln(2)
Posté par elhor_abdelali re : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 16:06 fusionfroide >
Cliquez pour afficher C'est exactement ce qu'a fait
Nightmare (un Fubini généralisé qu'il faut justifier bien entendu) :
du=\int_{a}^{b}\hspace{5}(\int_{0}^{+\infty}\hspace{5}e^{-ut}du)dt=\int_{a}^{b}\hspace{5}\frac{dt}{t}=ln(\frac{b}{a})})
Posté par fusionfroidere : Exo défi : Intégrale de fonction spéciale. 01-07-07 à 16:08 Cliquez pour afficher Ok désolé je n'avais pas vu
On pouvait aussi le montrer en considérer b fixe et a un paramètre, et utiliser les résultats sur les intégrales dépendant d'un paramètre...
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