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exo droite d euler dun triangle/homothétie
j'ai besoin de votre aide pour un exo de DM ...
Voici la consigne:
Dans le plan ABC est un triangle, on note A', B' et C' les milieux respectifs des côtés BC, AC et AB et G le centre de gravité de ABC.
a) Démontrer qu'il existe une homothétie h de centre G qui tranforme A' en A, B' en B et C' en C. Quel est le rapport de h ?
=> j'ai trouvé h(G, 2): A'->A
B'->B
C'->C
b)Démontrer que l'image par h de la médiatrice de chaque côté est la hauteur issue du sommet opposé.
=> C'est là que je bloque, je vois vraiment pas comment m'y prendre !
c)O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et H son orthocentre.Démontrer que l'image du point O par h est le point H.
d) En déduire que O, G et H sont alignés et que vecteur OH=3vecteur OG
merci de votre aide précieuse !
Bonjour
b)
L'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle.
De plus, les homothétie consevent les alignements.
Prenons la médiatrice passant par B'
Son image est la droite qui lui est parralléle passant par l'image de B'.
C'est donc la hauteur passant par B.
merci pour ton aide !
jsuis désolée mais je bloque complètement sur cet exo et même la question d'après je ne vois pas comment la résoudre...
Pourrais-tu me mettre sur la voie ?
c) G est à l'interseion des médiatrices passant par A et A'
puisque les homothéties conservent les intersections
donc l'image de G est à l'intersection de l'image de la médiatrice passant par A' et de la médiatrice passant par B'
or les médiatrices ont pour images les hauteurs .... (question b)
donc l'image de G est à l'intersection des hauteurs issues de B et A
c'est donc H
pourquoi est ce que G est à l(intersection des médiatrices ? Je vois pas pourquoi...
Excuse moi, il faut remplcer dans la démonstration G par O
c) O est à l'interseion des médiatrices passant par A et A'
puisque les homothéties conservent les intersections
donc l'image de O est à l'intersection de l'image de la médiatrice passant par A' et de la médiatrice passant par B'
or les médiatrices ont pour images les hauteurs .... (question b)
donc l'image de O est à l'intersection des hauteurs issues de B et A
c'est donc H
mais pourquoi dis-tu que O est l'intersection des médiatrices "passant par A et A'" ? jsuis désolé jai trop du mal !!!
merci de ta compréhension !
en plus, j'ai jamais appris que l'homothétie conserve les intersections...
Bon, je me suis encore planté... pour A et A'
Je te donne une autre version avec un autre théorème que la conservation des intersections
O est à l'intersection des médiatrices passant par B' et A'
puisque les homothéties transforment une droite en une droite (conservation des alignements), l'image de O est à la fois sur:
- la hauteur passant par A puisque l'image de la médiatrice passant par A' est la hauteur issue de A (voir b)
- la hauteur passant par B puisque l'image de la médiatrice passant par B' est la hauteur issue de B (voir b)
le point situé sur ces deux hauteurs est l'orthocentre H
donc l'image de O est H
Le coeffeicent est des -2 et non 2,.
Sinon tu dois savoir que l'image d'une droite par homothétie est une droite parallèle à le aprémière .
Donc l'image de la médiatrice de BC qui est la perpendiculaire à BC passant par A' le milieu :
- passe par A image de A'
- est parallèle à la médiatrice donc perpendiculaire à BC.
Don c'est la hauteur issue de A du triangle ABC.
D'après la question précédente O qui appartient aux trois médiatrices, a pour image un point qui appartient aux trois hauteurs, donc c'est H.
DOnc l'image de GO est GH (en vecteur), Comme l'image d'un vecteur est un vecteur parallème O, G, H alignés.
vect(GH) = -2 vect (GO)
G barycentre de H(1), O(2).
OG = OH/3 ou OH = 3OG
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