je n'ai pas encore eu de réponse alors je remet mon sujet en tête de liste

Salut, il faut prendre je pense 2 valeur pour x .
Par exemple pour x=0 :
0ⁿ+0²+0-1=-1 <0
puis pour 1:
1ⁿ+1²+1-1=2 >0.

Comme une fonction polynomiale est continue, il existe au moins un X tq 0<X<1 et Xⁿ+X²+X-1=0.

Voila le réponse à la première question

bonjour  Redman

1) la solution de Monsieur jeffrey74 est bonne.

2)

Un est positive car il a été choisi entre 0 et 1 comme solution de l'équation : x^n+x²+x-1=0

soit a ( alpha) la solution positive de a²+a-1=0 (a est le nombre d'Or).

alors : a^n+a²+a-1=a^n

comme (un)^n+(un)²+un-1=0

retranchons membre à membre vous trouvez:

[(un)^n-a^n]+[(un)²-a²]+[un-a]= - a^n

donc

(un-a)[Somme(p=0àn)((un)^pa^(n-p))]+(un-a)(un+a)+(un-a)= -a^n

en factorisant par un-a on obtient:

(un-a){[Somme(p=0àn)((un)^pa^(n-p))]+un+a+1}= -a^n

comme a et un sont positifs alors le terme:

{[Somme(p=0àn)((un)^pa^(n-p))]+un+a+1} est positif comme somme de termes positifs.

comme -a^n < 0 donc

un-a <0 donc un < a

en résumé 0<un<a

3) a étant solution de x²+x-1=0
-1/a est aussi solution de cette équation et l'on a:

a-1/a=-1   ; c'est une propriété des solutions des équations de sde dégré x1+x2=-b/a

comme (un-a)(un+1/a)=un²+(-a+1/a)un-1=un²+un-1

alors (un)^n+(un)²+un-1 =0   est équivalente à:

(un)^n+ (un-a)(un-1/a)=0

4) comme (un)^n+ (un-a)(un+1/a)=0
donc

(un-a)= -(un)^n/(un+1/a)  

donc en prennant la valeur absolue de chaque membre on a:

|un-a|= |un|^n/|un+1/a|  

d'autre part:

un>0 donc un+1/a>1/a donc 0<1/(un+1/a) < a donc |1/(un+1/a)| < a

comme 0<un<a  alors 0<|un|<a  ; a et un sont positifs.

d'où
|un-a|= |un|^n/|un+1/a|< a^n.a=a^(n+1)

comme a= (-1+rc(5))/2 = 0,61... <1  donc lim(a^(n+1))=0 en +oo.

donc lim|un-a|= 0 en +oo

donc limUn=a en +oo.

5) je vous laisse réflechir à cette question

bon courage

merci!