A et C sont deux points distincts et B le milieu du segment [AC].
Trois coureurs X,Y et Z se déplacent sur le segment [AC].
Au départ, X est en A, Y a le témoin et se trouve en B alors que Z est en C.
X et Y partent à la rencontre l'un de l'autre. Quand ils se croisent, Y s'immobilise et passe le témoin à X qui continue de se déplacer en direction de Z qui part à sa rencontre.
Lorsque X et Z se croisent, X s'immobilise et passe le témoin à Z qui continue de se déplacer en direction de Y, lequel vient à sa rencontre. ET ainsi de suite ...
On suppose que les trois coureurs se déplacent à la même vitesse qui est constante.
On se propose d'étudier si les trois coureurs vont finir par se regrouper en un point et de trouver ce point.
On se place dans le repère (A,vecteur AC) de la droite (AC).
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par Xn l'abscisse du n-ième point de rencontre.

1°) a) Calculer X1, X2? X3 et X4
b) Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
X(n+1) = (Xn + X(n+1))/2

2°) a) Pour n supérieur ou égal à1, on pose Yn = X(n+1) - Xn
Démonter que la suite (Yn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) Démontrer que la suite (Zn) définie, pour tout n supérieur ou égal à 1 par :
Zn = X(n+1) + 1/2 Xn est constante

3°) a) En remarquant que Zn - Yn = (3/2) Xn , démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
Xn = (1/2)-(-1/2)^(n+1)
b) Démontrer que la suite (Xn) est convergente et préciser sa limite
c) Conclure


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