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Exo Suite
Bonjour, voila j'ai un exercice sur les suites numériques que je n'arrive pas a comprendre.
C'est un problème sur l'étude d'une suite non monotone. J'ai un devoir sur ce chapitre dans peu de temps, et j'essaye de comprendre en faisant des exercices, mais sur celui ci je penche vraiment.
La suite (Vn) est défini par son premier terme V0=2 et la relation de récurrence:
V(n+1)= -V(n)/V(n)+2
1) Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur ]-2;+
[ par
f(x)= -x/x+2
2) Montrer que si x 
[-1/2;+1/2[, alors:
f(x)[-1/2;+1/2[
En déduire que la suite, à partir d'un certain rang, est minorée par -1/2 et majorée par +1/2.
3) Comparer les signes de deux termes successifs:
V(n) et V(n+1)
En déduire que les termes de la suite d'indices pairs sont positifs et ceux d'indices impairs négatifs.
La suite (Vn) est elle monotone ?
4) On considère les suites (Pn) et (In) définies, pour tout entier naturel n, par Pn=V(2n) et In= V(2n+1)
Montrer que la suite (Pn) est décroissante et la suite (In) croissante.
5) Montrer, pour tout entier n, l'inégalité |V(n+1)|
2/3|V(n), puis en déduire |V(n)|2*(2/3)^n.
Déterminer le premier entier n0 vérifiant (2/3)^n0,001.
En déduire que tous les termes de la suite, d'indice au moins égal à n0, appartiennent à un intervalle de centre 0, que l'on précisera.
Merci pour votre aide !
Bonjour
Fais attention à tes parenthèses! Ce que tu écris est ! J'ai quand même compris que
1) Soient a et b tels que -2 < a < b. On a
donc f est strictement décroissante.
2) Comme f est décroissante, si , on a
maintenant tu peux avancer...
Pour déduire que la suite est minorée par-1/2 et majorée par +1/2 j'ai montrer que V(n+1)=f(Vn) donc -1/2x1/2 donc 1/2f(x)-1/2. C'est bien comme ça qu'il faut prouver que la foncion est majorée ou minorée ?
Oui, c'est bien comme ça, mais il y a une récurrence là dessous. C'est en supposant que est entre -1/2 et 1/2 que tu en déduis que
y est.
Je vois maintenant, je dois juste préciser que en supposant que Vn est entre -1/2 et 1/2 donc j'en déduis la relation V(n+1)=f(Vn) ?
Ok je vois, pour la Q° 3) j'ai comparé les signes en supposant que Vn > 0 (ou inversement): -Vn < 0 et Vn/V(n+2) < 0 donc Un+1 < 0. Les termes consecutifs sont donc opposés.
Ensuite pour déduire que les termes d'indices pairs sont positifs et ceux d'indices impairs négatifs, j'ai calculé V1 donc V1= -Vo/ V(o)+2 ainsi U1=-1/2. U1 est négatifs donc impairs donc grâce a la question précédente, U2 sera donc positif, etc... On voit une alternance.
Je ne penses pas avoir oublier quelques chose, mais est-ce juste ?
jme débrouille pas si mal que ça !
Donc j'en déduit que la suite n'est pas monotone.
Par contre pour la Q° 4) je ne sait pas de quel façon étudier le sens de variations de (Pn) et (In). Doit-je étudier le signe de leurs différence, c'est a dire (pour Pn) P(n+1)-P(n)=In-Pn ?
Tu peux faire ça; tu peux aussi remarquer que et tu as assez pour pouvoir vérifier très rapidement que f o f est croissante.
Je n'arrive pas à comprendre la méthode,car V(n+2) n'a pas de rapport avec In et Pn, du moin je ne vois pas 
et
donc on passe de
à
en augmentant de 2 l'indice dans V. C'est pareil pour les impairs, donc ce que je propose permet de traiter les deux en même temps. Mais si ça doit t'embrouiller, fais comme tu proposais, c'est aussi bien!
Je viens de remarquer que ma méthode n'est pas aussi facile que je le pensais car pour V(2n+1)-V(2n) je bloque. La méthode que vous m'avez proposer et donc plus rapide, mais je ne vois pas très bien comment faire non plus.
Pour V(2n+1)-V(2n) le calcule devient trop compliqué, du coup je m'embrouille :s, quant à votre méthode je ne l'est pas étudier en classe donc je ne voit pas trop.
J'ai réussi a trouver quelque chose, en faisant la différence P(n+1)-P(n), j'ai trouver en remplaçant que ((-V(2n))/(V(2n)+2)-V(2n)= (V(2n)(V(2n+2))/V(2n)+2 = -V(2n²)-3V(2n)/ V(2n)+2
=> V(2n)*(-3-V(2n))/(V(2n)+2)
Le resultat sera forcément négatif donc on peux dire que Pn est décroissante.
Par contre pour In c'est beaucoup moins évident... je n'est pa réussi a trouvé
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