u0=50 cm
u1= 3/5 u0+u0 = (3/5+5/5) u0 = 8/5 u0
u2= 3/5 u1 + u1=8/5 u1 = (8/5)²u0

un= (8/5)puiss *u0

2.50= (8/5) puiss n* 0.50
2.50/0.50= (8/5) puiss n
5=(8/5) puiss n
ln (5)= ln(8/5 puis n)
ln (5) = n ln (8/5)
ln (5)/ln (8/5)=n
ln (5-8/5)=n
ln (25-8)=n
     5  
ln (17/5)=n

sauf erreur

2)Quelle devrait etre la hauteur initiale de la plante pour qu'avec la meme vitesse de croissance, le plafond ne soit atteint qu'en 10 ans?

un= (8/5)puiss n *u0
2.50= (8/5) puiss 10* u0
2.5 (sur)     = u0 (hauteur initiale)
(8/5 puiss 10

bonjour,soit h0 la hauteur initiale de la plante
au bout d'un an la plante atteint la hauteur h1=h0+(3/5)h0=(8/5)h0
au bout de deux ans elle atteint la hauteur h2=(8/5)h1= (8/5)^2 h0
les hauteurs successives forment une suite géométrique de raison 8/§
au bout de n années  hn=(8/5)^n h0 si elle touche le plafond hn=250cm donc(8/5)^n=hn/h0=250/50=5 et tu dois trouver n, comme tu as l'air de connaitre les logarithmes tu ecris ln(8/5)^n=ln5=>nln(8/5)=ln(5)
si tu connais seulement les logarithmes décimaux  tu remplaces ln par logbon courage,j'espère ne pas avoir fait d'erreur

BONJOUR NOELLA2,Tout d'abord MERCI pour ta réponse
Pour ma part j'ai essayé de répondre à la premiere question et je trouve un résultat sensiblement différent puisse que :
0.5*1.6^x=2.5
0.5*xlog1.6=log 2.5
x=3.89
est-ce que mon raisonnement est bon?
ai-je fais une erreur de calcul?
ensuite j'ai du mal à interpréter ta réponse c'est évident tu prends les log népérien mais voilà c'est tout ce que je comprends pourrais-tu etre plus explicite
merci d'avance

bonjour noella 2,il y a je crois une petite erreur:lna -lnb=ln(a/b) mais ce n'est pas égal à lna/lnb

bonjour veleda, MERCI pour ta réponse
meme question pour toi est-ce que tu peux vérifier ma réponse merci d'avance

bonjourh3po4,je suis d'accord avec ce que tu as ecrit jusqu'au moment où tu utilises les logarithmes:  tu devais ecrire
log(0,5)+xlog(1,6)=log(2,5)

0.5*1.6^n=2.5 ici c'est bon mais il faut mettre n        lorsq'il s'agit d'années (on demande une fonction en fonction de n)

équivaut à 1.6 puis n=2.5/0.5 on se débrouille pour placer
           1.6 puiss n= 5     des cstes l'autre côté
ln (1.6 pous n)= ln 5
n ln(1.6)= ln 5
n= ln (5)/ln (1.6)
n= ln (5-1.6)

en ce qui concerne ton erreur

0.5*1.6^n=2.5
0.5*nlog1.6=log 2.5 PAS BON car tu as oublié de traiter le 0.5
ln(0.5 * 1.6puis n) = ln 2.5
ln (0.5)+ ln (1.6 puiss n)= ln 2.5
ln (0.5) + n ln (1.6) =  ln (2.5) etc

SUPER veleda merci j'ai capté mon erreur!!par contre pour la question 2 c'est toujours un peu flou peux-tu détailler un peu plus? merci d'avance

oui oui velada tu as raison. je suis fatiguée....

idem pour Noella2 un grand merci à toi aussi  si on m'explique longtemps je compnrends vite!!!!!!:D

Un= (8/5)puiss n *U0  
Un= taille de la plante l'année n en fonction de n (le nombre d'année) et U0 (la taille de départ)
C'est la relation que l'on nous a demandé d'établir
Un=2.5
n=10 ans
cette fois-ci on cherche à connaitre U0

2.5 = (8/5) puiss 10* u0
2.5
------- = U0
(8/5)^10