x(x+1)(x+2)(x+3)+1=[ax²+bx+c]²

(x²+x)(x²+5x+6)+1=[ax⁴+b²x²+c²+2abx³+2acx²+2bcx]

x⁴+6x³+11x²+6x+1=ax⁴+2abx³+(b²+2ac)x²+2bcx+c²

d'où :

a=1
2ab=6
b²+2ac=11
2bc=6
c²=1

soit

a=1
b=3
c=1

donc f(x)=[x²+3x+1]²

Salut

Bonjour quand même

Tout dabord , juste une petite remarque , dire " trinôme du second degré" est un pléonasme car par définition , un trinôme est un polynome du second degré


Enfin , passons à l'exercice :

dévellopons Q(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)+1 .

si tu développes correctement tu devrais trouver :



On veut démontrer qu'il existe un trinôme P tel que

P est un trinôme <=> tel que

On en déduit :



D'où en regroupant les termes :



Autrement pour que P²(x)=Q(x) il faut que les réels a,b et c vérifient le systéme :



Or ce systéme est réalisable et a pour solution le triplet (1;3;1) . On en déduit que Q(x) est le carré du trinôme P(x)=x²+3x+1

( P-S: il n'est pas demandé dans l'énoncé de calculer les coefficients binomiaux du trinôme mais bon , quitte à faire un exercice , autant le faire proprement )

Oups désolé Dad97 , je n'avais pas vu ta réponse

Enfin , on a la même c'est le plus important

bon c'est une méthode assez hasardeuse, à mon avis il y a plus sûr...
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 est le carré d'un polynôme A
donc x(x+1)(x+2)(x+3) = A²-1
ça m'a fait penser à une identité remarquable :
A²-1 = (A+1)(A-1)
ensuite je me suis amusée à dira que x(x+3) = x²+3x
et que (x+1)(x+2)= x²+3x+2
donc si on prend A = x²+3x+1, x²+3x+2 = A+1 et x²+3x = A-1
on aura bien x(x+1)(x+2)(x+3) = A²-1 avec A un polynôme du 2nd degré.
je pense que ce n'est pas du tout la méthode demandée...mais au moins tu as le résultat !
salut

coucou Nightmare !
je ne crois pas qu'un trinôme soit forcément un polynôme du 2nd degré...
c'est juste qu'il y a trois termes dans le polynôme : x^5-2x+1 est un trinôme
enfin je crois

effectivement je confirme ce que dit flofutureprof :
trinôme signifie litérallement trois monômes et un monôme est de la forme xⁿ où n entier naturel donc un trinôme n'est pas forcément du second degré.

Salut

Daccord daccord je m'incline

Je vais donc retenir cette définition et oublier celle qu'un soit-disant "prof" m'a donné

au temps pour moi