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Exos de math Volume bouée formé de 2 tétraedre et d un cercle
La figure est une bouée avec un tétraedre suivi d'un cercle
et d'un tétraedre.
On veut construire une bouée ayant la forme d'un double cône. Les
contraintes de fabrication font que la génératrice du cône est de
longueur fixe, égale à 3 dm.
On désigne par h la hauteur du cone, par O le centre de sa base et par
r le rayon de sa base. On se propose de déterminer les dimensions
du cone pour que le volume de la bouée soit maximal.
1- Exprimer le volume V de la bouée en fonction de r et h.
2- Montrer que V peut s' écrire sous la forme:
V(h)= deux tiers de 
(9h-h au cube)
avec 0 
h 3
3- Calculer V'(h). Dresser le tableau de variation de la fonction
V sur l' intervalle [0;3]
4- En déduire les dimensions du cône pour lesquelles le volume de la
bouée est maximal.
Rappel: le volume d'un cone , de hauteur h et dont l'aire de la
base vaut B, est 1/3 de h fois B.
bonjour
Je n'ai pas très bien compris "La figure est une bouée avec un
tétraedre suivi d'un cercle et d'un tétraedre." mais je
ne pense pas que ce soit genant pour la suite.
1) le volume d'un cône est donné par la formule:
V=base*h/3 où base= r²
Comme la bouée est formée de 2 cones
le volume cherché est: V=(2/3) r²h
5avec le rappel en fin d'exercice c'est étonnant que tu(si je
peux te tutoyer) n'y soit pas arrivé(e)
2)une génératrice, un rayon (bien choisis) et la hauteur forment un triangle
rectangle. On peut donc appliquer Pythagore
3²=h²+r²
r²=3²-h²
on remplace r par cette expression dans le resultat trouvé en 1
d'où V(h)=(2/3) (9h-h^3)
3) V'(h)=(2/3) (9-3h²)=2 ((3-h²)
Je pense que le tableau de variations ne pose pas de problèmes.
4)Un extremum (ici un maximum) d'une fonction est atteint quand sa
dérivée s'annule.
V'(h)=0 
h²=3h= 
3
(la valeur négative ne nous intéresse pas).
Avec Pythagore on calcule facilement le rayon correspondant.
Voilà était-ce si difficile?
hum, question...
J'ai le meme exercice, à peu de choses près. Dans la question 4), je ne comprend pas pourquoi c'est un maximum, et non un minimum.
Car quand on étudie les variation, ça donne ça :
V' est un plynome de degré 2 qui à deux racines et
. Il est du signe de a (ici a=2
), donc positif à l'extérieur des racines.
(
[0;3], donc il ne nous interesse pas)
• Sur , V'(h)<0 donc V sera décroissante sur
• Sur , V'(h)>0 donc V sera croissante sur
• En h= la dérivé s'annule et change de signe donc V admet un MINIMUM (car la fonction est décroissante puis croissante...) non ?
Merci de votre aide
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