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exos sur les suites et les produits scalaires

Posté par Sam2 (invité) 05-03-05 à 14:39

Bonjour à tous! Voilà j'ai 3 exercices, pour tout vous avouer je suis pas vraiment très doué avec les suites et pour se qui concerne les produits scalaires ça dépend! Donc je vous serais infiniment reconnaissant si vous pouviez m'aider!
Je vous donne les exercices, si vous pouviez me donner des pistes se serait sympa! Merci à tous ceux qui m'aideront!

Exercice1:
On considère la suite (U_n) définie par: U_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}  pour tout n de .

1) Donner l'arrondi à 10-2  près des cinq premiers termes de la suite.

2) Démontrer que pour tout n de , U_n= 1 / \sqrt{n+1}+\sqrt{n}

3) Soit (V_n), la suite définie sur par V_n=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}  : démontrer que la suite (V_n) est croissante.

4) En déduire le sens de variation de la suite (U_n)

5) Démontrer que pour tout n de *, 0 < U_n < 1/\sqrt{n}

6) En déduire \lim_{n\to+\infty}U_n et justifier en citant un théorème très précis.


Exercice 2:

\vec{U} et \vec{V} sont deux vecteurs tels que II\vec{U}II =4 et II\vec{V}II =2 et \vec{U}.\vec{V}=7

Calculer II\vec{U}+\vec{V}II,   (\vec{U}+\vec{V}).(\vec{U}-\vec{V}),   \vec{U}.(\vec{U}+\vec{V})


Exercice3:

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;;)
A(5;6)  B(-1;4)  et  C(3;2)

Donner la mesure en degrés de l'angle \widehat{ABC}


Voilà! Ca en fait des exos! Merci encore mille fois! Et bonne journée à tous!

Posté par
ma_corre exo suite et p.s. 05-03-05 à 14:43

Bonjour Sam 2.
Je vais t'aider, mais dis nous quelle partie tu n'as pas réussi à faire ou bien donne tes réponses.

Posté par Sam2 (invité)exo suite 05-03-05 à 15:22

En fait c'est surtout l'exercice 1 qui me pose problème, je suis en train de le chercher, mais je patauge dans la semoule, pour le 2 ça va, mais je ne l'ai pas encore fini, quand je l'aurai fini je te donnerai les réponses et en se qui concerne le 3 je vois pas comment faire!
J'essaye de faire au plus vite; mais ça m'étonnerai que je puisse revenir avant demain sur le forum!
Se serait sympa de m'aider!
Merci et Bonnne journée

Posté par Sam2 (invité)C encore sam2 05-03-05 à 15:36

j'ai oublié de préciser que si je n'arrivai pas certain exercices c'est parce que j'ai eu quelques problèmes de santé qui mon fait rater malheureusement quelques cours! Ce qui explique les difficultés que j'ai avec certain exercice!
Bye!

Posté par
ma_corre suites et p.s. 05-03-05 à 16:26

Rebonjour.
Je te donnes les quelques indications qui, je l'espère, pourront t'aider à mieux comprendre les suites.
Toutefois, il n'y a pas de recette miracle.  L'examen de la suite permet également de trouver la voie à suivre.
C'est le cas ici où tu as U_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} : une différence de radicaux.
Pour la 1, je pense que tu sais calculer les termes en remplaçant n successivement par 0, 1, 2, etc.
Pour la 2), puisque ce sont des radicaux, envisage de multiplier par une fraction équivalente à 1 et dont le dénominateur est non nul.  Ainsi,
U_n=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} et \sqrt{n+1}+\sqrt{n} est bien non nul quel que soit n entier positif.

Pour la 3), montrer qu'une suite est croissante revient à montrer que V_{n+1}-V_{n}\ge{0} et une étude du signe te donne alors la réponse à ta démonstration.  Ici, tu as :
V_{n+1}-V_{n}=(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}=(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}).\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\frac{(n+2)-n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}>0 puisque le dénominateur est une somme de deux radicaux et donc positif (et il est non nul pour tout n entier positif).

Pour la 4), tu constates que U_n=\frac{1}{V_n} : il faut donc inverser le sens des inégalités pour U_n.  Dès lors la suite (U_n) est décroissante.

Pour la 5), on sait que \forall{n}\in\mathbb{N} : \sqrt{n+1}>\sqrt{n}\leftrightarrow\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>\sqrt{n}+\sqrt{n}>\sqrt{n}\leftrightarrow{U_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}.

Pour la 6), tu conclus que (U_n) est une suite minorée par 0 et \lim_{n\to\infty}U_n=0 car toute suite décroissante minorée est convergente (toute suite croissante majorée est convergente) (\frac{1}{\sqrt{n}} tend vers 0).

Posté par Lau (invité)re : exos sur les suites et les produits scalaires 05-03-05 à 16:29

je veux bien essayer de t'aider pour l'exo 3, je viens de le faire en cours.
Je fais et je t'envois les réponses

Posté par
ma_corre suites et p.s. 05-03-05 à 16:36

Pour l'exo 2 :
||\vec{U}+\vec{V}||^2=(\vec{U}+\vec{V})^2=\vec{U}^2+2.\vec{U}.\vec{V}+\vec{V}^2=||\vec{U}||^2+2.\vec{U}.\vec{V}+||\vec{V}||^2=16+2.7+4=34.  Ainsi, ||\vec{U}+\vec{V}||=\sqrt{34}.
(\vec{U}+\vec{V}).(\vec{U}-\vec{V})=\vec{U}^2-\vec{V}^2=||\vec{U}||^2-||\vec{V}||^2=16-4=12.
\vec{U}.(\vec{U}+\vec{V})=\vec{U}^2+\vec{U}.\vec{V}=16+7=23.

Posté par Lau (invité)re : exos sur les suites et les produits scalaires 05-03-05 à 16:43

Alors pour l'exo 3 :

On calcule [BC], [AC] et [AB]

AC= (xc-xa)²+(yc-ya)²
  = (-2)²+ (-4)²
  =20

BC= (3+1)²+(2-4)²
  =20

AB= (-1-5)²+(4-6)²
  =40

AC et BC sont égaux

d'aprés la réciproque du th de pythagore :
BC²+AC²=40
et AB²= 40
On en déduit que le triangle ABC est isocéle et rectangle en C.

Je t'envois la suite...

Posté par Lau (invité)re : exos sur les suites et les produits scalaires 05-03-05 à 16:46

suite du 3 :

Comme on est ds un triangle isocéle rectangle, la somme des angles est égale à
donc l'angle BCA qui est rectangle est égale à /2
l'angle CAB à /4
et l'angle ABC à /4

d'ou ABC = 180/4 = 45°

voilà.
Lau

Posté par
ma_corre suites et p.s. 05-03-05 à 16:49

Pour l'exo 3 :
\vec{BA}=(6;2) et \vec{BC}=(4;-2).  Ainsi,
\vec{BA}.\vec{BC}=6.4+2.(-2)=20, mais tu as aussi \vec{BA}.\vec{BC}=||\vec{BA}||.||\vec{BC}||.cos\widehat{ABC}.
Tu as : ||\vec{BA}||=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2.\sqrt{10} et ||\vec{BC}||=\sqrt{4^2+(-2)^2=\sqrt{20}=\sqrt{2}.\sqrt{10}.
Puisque le p.s. est le même, tu en déduit que
20=2\sqrt{10}.\sqrt{2}\sqrt{10}.cos\widehat{ABC}cos\widehat{ABC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} et on en tire que l'angle vaut 45°.

Posté par
ma_corre suites et p.s. 05-03-05 à 16:52

Voilà.  Mais je vois que Lau t'as donné également une solution.
Bien pour Lau

Posté par Lau (invité)re : exos sur les suites et les produits scalaires 05-03-05 à 16:54

Merci ma_cor, c'est la chose que j'ai comprise en maths quasiment depuis le début de l'année

Posté par Sam2 (invité)Merci! 06-03-05 à 09:58

Merci à Lau et ma_cor, j'ai travaillé sur vos réponses et je comprend les exercices! Pour l'exercice 2 j'avais trouvé la même chose (mon cas n'est pas trop désespéré!)
Je vous remercie encore mille fois, c'est très sympa de votre part!
Bonne journée à tous et vive le forum de l'île des maths!


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