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exrcice sur les suites

Posté par yoki (invité) 22-08-05 à 15:17

bonjour pour préparer ma rentré j'ai eu un exercice sur les suites et je cherche une correction

voila l'énoncé :

On considère la suite numérique u définie par u0=1 et pour tout entier naturel n : un+1 = \frac{1}{3}un -6n+15
Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = 4un-6n+15
1°) Montrer que v est une suite géométrique.
2°) Calculer v0 puis calculer vn en fonction de n.
En déduire que pour tout entier naturel n :   un= \frac{19}{4}\times\frac{1}{3^n}+\frac{6n-15}{4}
3°) Montrer que la suite u peut s'écrire sous la forme u = t + w où t est une suite géométrique et w une suite arithmétique.
4°) Calculer Tn = t0 + t1 + ...  et Wn = wo + w1 +...+ wn.
En déduire Un = u0 + u1 + ... + un.

et surtout je n'arrive pas a faire la 3 et la 4

Posté par Frip44 (invité)re : exrcice sur les suites 22-08-05 à 16:46

Bonjour yoki...

1) Essaye de trouver V_{n+1} en fonction de V_n (\forall {n} \in \mathbb {N})
(Je l'ai fait mais je n'ai pas réussi, n'aurais-tu pas fait d'erreurs en recopiant ton ennoncé ?? )

2) - (V_n) est géométrique, tu peux donc exprimer le terme principal de la suite V_n en fonction de n...(vu en cours)
   - Tu connais V_n en fonction de n et de U_n, tu peux donc exprimer U_n en fonction de n...

Fais d'abord cela, on verra la suite après...

Sauf étourderie...

++
(^_^(Fripounet)^_^)

Posté par
lyonnaisre : exrcice sur les suites 22-08-05 à 16:55

salut :

je suis d'accord avec toi Fripp, il y a une erreur d'énoncé pour le 1°) ...

++ sur l'
romain

Posté par ZauctoreII (invité)exrcice sur les suites (bribes de réponse) 22-08-05 à 16:59

Hello.

Pour la question 3 :
il me semble clair que t_n=\frac{19}{4}\times\frac{1}{3^n} et que w_n=\frac{3}{2}\times n-\frac{15}{4}.
La première est géométrique, comme toute suite de la forme x_n=c\times q^n où c\textrm{ et }q (q est la raison) sont des constantes.
La seconde est arithmétique, comme toute suite de la forme y_n=r\times n+C, où r\textrm{ et }C sont des constantes (ici la raison
est r.

Pour la question 4 :
on utilise la formule de sommation des termes consécutifs d'une suite géométrique pour t, et son analogue arithmétique pour w.
Voir les théorèmes 2 et 4 de la fiche de 1re sur "Les suites".

Essaie de finir.

Posté par ZauctoreII (invité)Précision 22-08-05 à 18:02

En effet, Frip44 et lyonnais : je n'avais pas lu le début du texte de yoki ! C'est à peu de choses près l'exo 78 p. 203 dans le tome d'Analyse 1re S Didier 2001.
Il faut lire : u_{n+1}=\frac13\times u_n+n-1.
L'expression de v_n est correcte.

Posté par yoki (invité)re : exrcice sur les suites 23-08-05 à 19:40

mais je n'arrive pas a faire la question 1

Posté par
lyonnaisre : exrcice sur les suites 23-08-05 à 20:09

>> yoki 19:40 :

Si comme le dis ZauctoreII , on a :

3$ \rm \{{ u_{n+1} = \frac13\times u_n+n-1 \\ v_n = 4u_n-6n+15

Alors voici comment procéder :

3$ \rm \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{4u_{n+1}-6(n+1)+15}{4u_n-6n+15} = \frac{\frac{4}{3}u_n+4n-4-6n-6+15}{4u_n-6n+15} = \frac{\frac{4}{3}u_n-2n+5}{4u_n-6n+15} = \frac{1}{3}

(vn) est donc une suite géométrique de raison 1/3

++ sur l'
romain

Posté par yoki (invité)re : exrcice sur les suites 24-08-05 à 21:12

merci et pour la question 2 comment on fait ?

Posté par
cqfd67re : exrcice sur les suites 24-08-05 à 21:27

salut,

la question 2 est une question de cours

si (vn) est une suite geometrique de raison r

vn=v0*r^n

Posté par yoki (invité)re : exrcice sur les suites 24-08-05 à 21:46

mais je n'arrive pas du tout a faire l'exercice

Posté par Frip44 (invité)re : exrcice sur les suites 24-08-05 à 22:46

Bonsoir yoki...

1) V_n=4u_n-6n+15 et u_{n+1}=\frac {1}{3}u_n+n-1
\forall n \in \mathbb {N}*,
V_{n+1}=4u_{n+1}-6(n+1)+15
V_{n+1}=4(\frac {1}{3}u_n+n-1)-6n-6+15
V_{n+1}=\frac {4}{3}u_n+4n-4-6n-6+15
V_{n+1}=\frac {4}{3}u_n-2n+5
V_{n+1}=\frac {1}{3}(4u_n-6n+15)
V_{n+1}=\frac {1}{3}V_n

Donc (V_n) est géométrique de raison \frac {1}{3} et de 1er terme V_0=1 \times 4-6 \times 0+15=19...

2) V_0=19 et (V_n) est géométrique de raison \frac {1}{3}
Donc, \forall n \in \mathbb {N}*,
V_n=19 \times ({\frac {1}{3}})^n

V_n=4u_n-6n+15
<=> 4u_n=V_n+6n-15
<=> u_n=\frac {V_n}{4}+\frac {6}{4}n-\frac {15}{4}
<=> u_n=\frac {19 \times ({\frac {1}{3}})^n}{4}+\frac {6}{4}n-\frac {15}{4}
<=> u_n=\frac {19 \times ({\frac {1}{3}})^n}{4}+\frac {6n-15}{4}
<=> u_n={\frac {19}{4}} \times {{\frac {1^n}{3^n}}}+\frac {6n-15}{4}
<=> u_n={\frac {19}{4}} \times {{\frac {1}{3^n}}}+\frac {6n-15}{4}

3) t_n={\frac {19}{4}} \times {{\frac {1}{3^n}}} et w_n=\frac {6n-15}{4}=\frac {3n}{2}-\frac {15}{4}
(t_n) est une suite géométrique de raison \frac {1}{3} et de 1er terme \frac {19}{4}
(w_n) est une suite arithmétique de raison \frac {3}{2} et de 1er terme -\frac {15}{4}

4) Soit T_n=t_0+t_1+t_2+...t_n=\sum_{n=0}^n t_n=t_0 \times \frac {1-{\frac {1}{3}}^{n+1}}{1-\frac {1}{3}}=...
Soit W_n=w_0+w_1+w_2+...w_n=\sum_{n=0}^n w_n=\frac {(n+1)(w_0+w_n)}{2}=...
Puis, U_n=T_n+W_n=t_0 \times \frac {1-{\frac {1}{3}}^{n+1}}{1-\frac {1}{3}}+\frac {(n+1)(w_0+w_n)}{2}=...

Je te laisse calculer le reste...

Sauf étourderie...

++
(^_^(Fripounet)^_^)


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