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f o f=f' (variable complexe)

Posté par
Camélia 29-12-09 à 15:04

Bonjour

Bien sur ceci est inspiré par Défi : Une petite équation différentielle. (que je ne sais toujours pas faire)

Soit $U={\bb{C}}\setminus R_-$ . On écrit les éléments de U sous la forme $z=re^{it}$ avec $r > 0$ et $-\pi < t < \pi$ .

Sur U on prend la détermination principale du logarithme définie par $\ln(re^{it})=\ln(r)+it$ et, pour u dans U et v quelconque on pose
$u^v=e^{v\ln(u)}$ .

Montrer qu'il existe un ouvert V contenu dans U, et des complexes $a$ et $b$ tels que la fonction f définie sur V par
$f(z)=bz^a$ vérifie sur V

$f o f=f'$

Je suis presque sure d'avoir une solution.

Posté par re : f o f=f' (variable complexe) 31-12-09 à 09:34

Bonjour Camélia

Il me semble bien que ton truc marche... Joli.

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Posté par re : f o f=f' (variable complexe) 31-12-09 à 15:02

> blang Oui, mais je trouve qu'ensuite il y a quand même du boulot!

A tous: $\red SOLUTION$

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Posté par re : f o f=f' (variable complexe) 31-12-09 à 15:18

Camélia > Oui, tu as raison, je n'ai pas regardé certaines choses d'assez près

Posté par re : f o f=f' (variable complexe) 31-12-09 à 15:24

J'ai été tellement affolée par le truc de SofianD que j'ai vraiment fait attention... Il n'empêche que je n'ai pas réussi à tirer de mon contrexemple un qui soit réel... et donc je ne sais toujours pas!

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