Bonjour

Une petite indication siouplé ?

Salut
On peut d'abord montrer que f est convexe sur R.

en montrant que f est croissante ou décroissante.

Je n'arrive toujours à progresser sur ce truc

Salut. As-tu réussi à montrer que f est croissante ou décroissante ? tu en déduis que f est convexe, et lorsque f n'est pas constante il faut trouver une absurdité.

Bonjour

Moi non plus je n'y arrive pas! En plus, quoique ça ne prouve rien, je mettrais un exemple de fonction complexe qui vérifie cette relation.

Bonjour.
Les fonctions considérées sont à valeurs réelles .

Non, je n'ai pas réussi à prouver que f était monotone et j'aimerais, si cela est possible, plus d'indications. Merci.

ok.
Il faut considérer deux réels a < b tels que f(a)=f(b) et montrer, en utilisant la relation fof=f ' , que f est constante sur [a,b].

Utiliser la relation fof=f ' , ce n'est pas précisément ce que j'appelle une indication

non mais l'indication c'est d'utiliser deux réels a < b tels que f(a)=f(b), puis montrer que f est constante sur le segment [a,b]

pour cela il faut multiplier par f ' dans les deux membres...

Voilà : . J'ai bon ?
Et après ?

Tu intègres entre a et b , et tu montre facilement que f est constante sur [a,b]

Hum... es-tu certain d'avoir une solution à ton truc ?

Bonjour à tous

Je tourne en rond également..

Salut rogerd, ça fait un bail

Salut blang!
Mes neurones sont un peu fatigués d'où la raréfaction des passages sur l'île.

L'exercice proposé est fort intéressant et j'y reviens souvent mais rien n'aboutit (remplacer x par kx, utiliser f'of=fof' , utiliser des d.l. etc)

Moi aussi, faute de temps, il y a des périodes durant lesquelles je me fais plutôt rare...

Salut.
Si vous avez réussi à montrer la monotonie de f (sinon ce n'est pas grave, vous admettez), on en déduit directement que f est convexe car f ' est croissante. Dans le cas où f n'est pas constante il y a une absurdité, j'en ai trouvé une si f est croissante mais dans le cas décroissante je n'ai pas encore abouti.

Oui c'est vrai que c'est un peu grave , tu n'as pas réussi avec la méthode que je t'ai indiqué ?

Et si tu nous donnais la solution?

Oui, oui, la soluce !

J'aimerais beaucoup voir où l'intégration de la relation va nous mener

Salut blang et rogerd

J'ai fait ce truc f o f=f' (variable complexe) en espérant n'être pas tombée dans aucun des pièges classiques et même pas dans les baroques!

Ok, je vous donne la solution.
On considère f non constante et solution, on a donc (fof)*f '=(f ')^2 . D'où si il existe a < b tels que f(a)=f(b), en intégrant la relation entre a et b, on a l'intégrale de f entre f(a) et f(b) égale à l'intégrale de (f ')^2 entre a et b. f(a)=f(b) donc l'intégrale de (f ')^2 entre a et b est nulle, et par continuité et positivité de (f ')^2 on en déduit que celle-ci est nulle sur [a,b], f est donc constante sur ce segment. Ceci ne montre pas directement que f est monotone mais un raisonnement par l'absurde (il existe un point ordinaire) est simple.
On en déduit la convexité de f.
- Si f est croissante.
f est supposée non constante donc sa limite en +inf est +inf. Par composition f ' tend aussi vers +inf, et on montre que x=o(f(x)) en +inf.
On montre ainsi que, lorsque x tend vers +inf, la tangente à f en x est au dessus de f au point d'abscisse f(x). Ce qui est absurde car f est convexe.
Voilà pour le cas où f est croissante. Si elle est décroissante, je n'ai pas encore abouti...

bonjour,

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j'avais aussi vu une solution qui consistait à montrer que f s'annulait en un point cela impliquait que les dérivées successives s'annulait en ce même point et on utilisait le DES.
voilà c'est tout @+

Ah ben ouais, tiens, c'est tout bête, je suis finalement d'accord avec ton histoire d'intégration : cela prouve bien la monotonie de f.

Salut à tous !

Bonsoir matovitch

Bonjour à tous !

Sofian D >> problème intéressant ! Merci

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Citation :
On montre ainsi que, lorsque x tend vers +inf, la tangente à f en x est au dessus de f au point d'abscisse f(x). Ce qui est absurde car f est convexe.

peux tu éclaircir ce point s'il te plait !

Effectivement, c'est un problème intéressant. Sans indiscrétion, quelle est l'origine de celui-ci, Sofian D ?

Pardon blang. Ça m'apprendra à lire les messages plus attentivement.  

Salut
Ce problème vient de moi, je trouvais cette équation sympathique.
Pour répondre à Elhor, on montre facilement que x=o(f(x)) en +inf. Donc lorsque x-> +inf, l'ordonnée du point d'abscisse f(x) de la tangente à f en x est équivalent à f'(x)f(x), tandis que f(f(x))=f'(x). Et comme f'(x)=o(f'(x)f(x)) il y a absurdité dû à la convexité de f.

Sofian D > Ta rédaction est plutôt elliptique. C'est plus l'idée de la démonstration que la démonstration elle-même.

Voilà ce que je proposerais :

Comme , on a pour supérieur ou égal à un assez grand.  Grâce à l'inégalité des accroissements finis, on voit alors que pour .
Si , on a alors , ce qui prouve que le point de coordonnées du graphe de est strictement sous la tangente au graphe de au point d'abscisse .

Oui c'est vrai que je vous donne l'idée de la démonstration, car écrire sans Latex c'est un peu désagréable...

Effectivement ! C'est plus clair maintenant et le cas croissante est réglé ! _{bonne chance pour l'autre cas !}

Mais, Sofian D, puisque tu dis que le problème vient de toi et que tu ne parviens pas à régler le cas décroissante, rien ne dit qu'il n'existe pas une fonction non nulle répondant à la question ?

C'est une conjecture, pour en être certain il faudrait bien sûre le démontrer.

Dans ce cas, s'il s'agit d'une question ouverte, il faudrait peut-être l'indiquer dans l'énoncé initial !!!
- Au départ, il semble clair qu'il s'agit d'un exercice dont tu possèdes une solution,
- ensuite (29/12 à 14:14), tu dis que tu ne sais pas traiter le cas où f est décroissante,
- il faut attendre hier (30/12 à 23:07) pour que tu nous informes qu'il s'agit d'une conjecture.

Bref, cette petite équation différentielle n'est pas si petite que cela.

Frustré blang?

Ayoub> Tu m'étonnes ! D'autant qu'il semble que cette conjecture soit fausse.

Salut.
La conjecture est fausse? Tu as réussi à trouver un exemple de fonction décroissante vérifiant la relation? Moi j'en suis toujours à chercher une absurdité dans le cas décroissant...

Sofian D> Non, je n'ai pas de contre-exemple à ta conjecture (de toute façon, il ne faut pas trop compter qu'il en existe un s'exprimant avec les fonctions usuelles). Je fais simplement une conjecture inverse à la tienne

Ok, pourquoi pas . Maintenant il faudrait savoir qui a raison...

Bonjour,

Je me retrouve confronter à cette équation, car elle pourrais, si elle a une solution, s'avérer utile pour démontrer l'existence d'une algèbre pre-Lie libre sur l'ev engendré par $f(x)d/dx$, et la 'composition' de ces expression. (ie : (f(x)d/dx )(d(x) d/dx) = f(x)f'(x)d/dx).
Je n'ai pas essayé avec la solution complexe proposé par Camélia, mais avec un peu de chance *espoire*. Je vais regarder ça.
Sinon, vous avez trouver quelque chose dans le cas réel?

J'avais envisager de la résoudre par des séries entière, mais j'ai un don pour introduire les erreurs de calcul et je n'ai pas encore prit le temps d'essayer proprement. Peut-être pourrait-on en tirer quelque chose des équations et du rayon de convergence?

Bon, il s'avère que la solution complexe de Camélia ne peut pas du tout m'aider en ce qui me concerne.

Bonjour Zenol Je ne sais toujours pas quelle est la réponse au cas réel!