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factorielle 2012

Posté par
tance
27-08-12 à 19:48

Bonjour à tous, j'ai un dm pour la rentrée . PArmi tous les exercices, il y a celui ci que je ne comprend pas trop.

On a 2012! , par combien de zéro se termine-t-il ?

2012!=1*2*3*....*2011*2012

Honnetement je ne comprend rien, je me suis renseiogné , il faut que trouve par combien (2012!) se divise t il par 10, on sait que 10=2*5 et qu'il faut donc compter le 2 et le 5 (Info Internet) Mais je bloque je ne vois pas comment faire ...

Merci de m'aider !

Posté par
pgeod
re : factorielle 2012 27-08-12 à 19:57

Je commencerais par décompter les facteurs 5.
soit donc les nombres (< 2012) divisibles par 625
+ ceux (< 625) divisibles par 125
+ ceux (< 125) divisibles par 25
+ ceux (< 25) divisibles par 5

Posté par
alb12
re : factorielle 2012 27-08-12 à 21:30

on peut toujours essayer de comprendre la façon de dénombrer les 5 dans la décomposition en facteurs premiers de 2012! (expliquée par pgeod) avec un nombre raisonnable par exemple 100!

Posté par
pgeod
re : factorielle 2012 27-08-12 à 22:08

bonsoir tance et alb12.
dsl. Je viens de m'apercevoir que la méthode que j'ai proposé
n'est pas juste pour dénombrer les facteurs 5.
Je rectifierai demain si personne ne l'a fait avant moi.
Bonne soirée.

Posté par
alb12
re : factorielle 2012 27-08-12 à 22:28

il y a autant de zéros terminaux dans la représentation en base 10 de 2012! que de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de 2012!
on compte les multiples de 5, puis les multiples de 25, etc ... et on ajoute le tout.
Ce qui me semblait être la méthode de pgeod ...

Posté par
alb12
re : factorielle 2012 27-08-12 à 23:37

une indication:
pour compter les multiples de 5 on fait comme à l'école primaire une petite division  2012/5. Et si cela ne tombe pas juste, on arrondit en dessous.
Autrement dit le nombre de multiples de 5 est l'entier immédiatement inférieur (ou égal) à 2012/5 que nous désignons d'un nom savant: la partie entière de 2012/5 que je noterai dans la suite floor(2012/5).
Un raisonnement analogue montre que:
le nombre de multiples de 25 est floor(2012/25)
le nombre de multiples de 125 est ...
le nombre de multiples de 625 est ...
Ainsi le nombre de zéros terminaux de 2012! est donné par la formule suivante:
N(2012!)=floor(2012/5)+floor(2012/25)+...+...

Posté par
alb12
re : factorielle 2012 27-08-12 à 23:56

Encore un oubli
ifactor(2012!) renvoie la décomposition en facteurs premiers de 2012!
On constate que la puissande de 5 est ... mystère ...

Posté par
numero10
re : factorielle 2012 28-08-12 à 02:02

Bonsoir,

Si quelqu'un à la réponse, est ce qu'il y en a 402?

Au pire, je réfléchirais demain, là à cette heure c'est dur.

Posté par
alb12
re : factorielle 2012 28-08-12 à 08:50

la réponse est floor(2012/5)+floor(2012/25)+floor(2012/125)+floor(2012/625)
Tu peux utiliser Xcas en ligne, cliquer sur la console tout en haut, et taper ifactor(2012!) puis lire la puissance de 5.

Posté par
geo3
re : factorielle 2012 28-08-12 à 11:15

Bonjour
A un près je dirais 503
A+

Posté par
geo3
re : factorielle 2012 28-08-12 à 11:46

Re
Peut-être à 2 près 503
Sans doute 501 à vérifier
A+

Posté par
alb12
re : factorielle 2012 28-08-12 à 11:52

ok pour 501

Posté par
geo3
re : factorielle 2012 28-08-12 à 13:09

Re
Si on développe le produit de 5i depuis 1 jusque 402 * 2^201 on obtient aussi 501 zéro à la fin
A+

Posté par
tance
re : factorielle 2012 28-08-12 à 13:58

J'ai donc fais :
2012/5=402 (arrondi)
2012/25=80
2012/125=16
2012/625=3

Ce qui fait donc 501.

Ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on cherche les nombres de multiples de 5, 25, 125 et 625 ??

Posté par
tance
re : factorielle 2012 28-08-12 à 14:00

Est ce que c'est pour tous les factorielles pareil ? Par exemple 2009! ? On prend aussi 5, 25 etc ?

Posté par
numero10
re : factorielle 2012 28-08-12 à 14:08

Oui, j'ai remarqué ue j'en avait oublié certains en fait.

On cherche les multiple de 5 car 2*5=10

Et à chaque fois que tu multiplies un nombre par 10, 100 ... tu rajoutes des zéros.

Posté par
alb12
re : factorielle 2012 28-08-12 à 14:09

On écrit (mentalement) le produit de tous les nombres de 1 jusqu'à 2012.
il y a plus de nombres pairs que de multiples de 5.
comme 10=2.5 il y a autant de zéros à la fin de 2012! que de 5 dans la décomposition de 2012! en facteurs premiers.
tous les 5 pas on rencontre un 5 donc floor(2012/5)
tous les 25 pas on rencontre un 5 de plus donc on ajoute floor(2012/25)
tous les 125 pas on rencontre un 5 de plus donc on ajoute floor(2012/125)
tous les 625 pas on rencontre un 5 de plus donc on ajoute floor(2012/625)
Pour être convaincu le faire avec 103!

Posté par
pgeod
re : factorielle 2012 28-08-12 à 14:14


bonjour,

Ma formulation d'hier n'était pas exacte, car il faut bien rechercher
les multiples de 5, 25, 125 et 625 pour TOUS les nombres de 1 à 2012.

c'est donc bien :

le nombre de ceux divisibles par 625
+ le nombre de ceux divisibles par 125
+ le nombre de ceux divisibles par 25
+ le nombre de ceux divisibles par 5

Citation :
Ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on cherche les nombres de multiples de 5, 25, 125 et 625 ??

On cherche le nombre de 0 qui termine 2012!
donc le nombre de fois où on peut diviser 2012! par 10
si on veut pouvoir diviser 2012! par 10*10*...*10 (n fois)
il faut déjà pouvoir diviser 2012! par 5*5...*5 (n fois)

Est-ce cela la question ?

Posté par
tance
re : factorielle 2012 28-08-12 à 14:14

Je commence à comprendre un peu mieux , merci beaucoup !



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