Je commencerais par décompter les facteurs 5.
soit donc les nombres (< 2012) divisibles par 625
+ ceux (< 625) divisibles par 125
+ ceux (< 125) divisibles par 25
+ ceux (< 25) divisibles par 5

on peut toujours essayer de comprendre la façon de dénombrer les 5 dans la décomposition en facteurs premiers de 2012! (expliquée par pgeod) avec un nombre raisonnable par exemple 100!

bonsoir tance et alb12.
dsl. Je viens de m'apercevoir que la méthode que j'ai proposé
n'est pas juste pour dénombrer les facteurs 5.
Je rectifierai demain si personne ne l'a fait avant moi.
Bonne soirée.

il y a autant de zéros terminaux dans la représentation en base 10 de 2012! que de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de 2012!
on compte les multiples de 5, puis les multiples de 25, etc ... et on ajoute le tout.
Ce qui me semblait être la méthode de pgeod ...

une indication:
pour compter les multiples de 5 on fait comme à l'école primaire une petite division  2012/5. Et si cela ne tombe pas juste, on arrondit en dessous.
Autrement dit le nombre de multiples de 5 est l'entier immédiatement inférieur (ou égal) à 2012/5 que nous désignons d'un nom savant: la partie entière de 2012/5 que je noterai dans la suite floor(2012/5).
Un raisonnement analogue montre que:
le nombre de multiples de 25 est floor(2012/25)
le nombre de multiples de 125 est ...
le nombre de multiples de 625 est ...
Ainsi le nombre de zéros terminaux de 2012! est donné par la formule suivante:
N(2012!)=floor(2012/5)+floor(2012/25)+...+...

Encore un oubli
ifactor(2012!) renvoie la décomposition en facteurs premiers de 2012!
On constate que la puissande de 5 est ... mystère ...

Bonsoir,

Si quelqu'un à la réponse, est ce qu'il y en a 402?

Au pire, je réfléchirais demain, là à cette heure c'est dur.

la réponse est floor(2012/5)+floor(2012/25)+floor(2012/125)+floor(2012/625)
Tu peux utiliser Xcas en ligne, cliquer sur la console tout en haut, et taper ifactor(2012!) puis lire la puissance de 5.

Bonjour
A un près je dirais 503
A+

Re
Peut-être à 2 près 503
Sans doute 501 à vérifier
A+

ok pour 501

Re
Si on développe le produit de 5i depuis 1 jusque 402 * 2^201 on obtient aussi 501 zéro à la fin
A+

J'ai donc fais :
2012/5=402 (arrondi)
2012/25=80
2012/125=16
2012/625=3

Ce qui fait donc 501.

Ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on cherche les nombres de multiples de 5, 25, 125 et 625 ??

Est ce que c'est pour tous les factorielles pareil ? Par exemple 2009! ? On prend aussi 5, 25 etc ?

Oui, j'ai remarqué ue j'en avait oublié certains en fait.

On cherche les multiple de 5 car 2*5=10

Et à chaque fois que tu multiplies un nombre par 10, 100 ... tu rajoutes des zéros.

On écrit (mentalement) le produit de tous les nombres de 1 jusqu'à 2012.
il y a plus de nombres pairs que de multiples de 5.
comme 10=2.5 il y a autant de zéros à la fin de 2012! que de 5 dans la décomposition de 2012! en facteurs premiers.
tous les 5 pas on rencontre un 5 donc floor(2012/5)
tous les 25 pas on rencontre un 5 de plus donc on ajoute floor(2012/25)
tous les 125 pas on rencontre un 5 de plus donc on ajoute floor(2012/125)
tous les 625 pas on rencontre un 5 de plus donc on ajoute floor(2012/625)
Pour être convaincu le faire avec 103!

bonjour,

Ma formulation d'hier n'était pas exacte, car il faut bien rechercher
les multiples de 5, 25, 125 et 625 pour TOUS les nombres de 1 à 2012.

c'est donc bien :

le nombre de ceux divisibles par 625
+ le nombre de ceux divisibles par 125
+ le nombre de ceux divisibles par 25
+ le nombre de ceux divisibles par 5

Je commence à comprendre un peu mieux , merci beaucoup !