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Factorielle

Posté par
yns91 29-07-20 à 23:27

Bonsoir, bonjour l'ile !

J'étudie la limite en +infini \frac{x^n}{n!}.

En essayant de simplifier \frac{n}{(n+1)!}

Je trouve \frac{1}{n} au lieu de \frac{1}{n+1} avec la calculatrice (numériquement)


Voici ce que j'ai fait :

\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n*(n-1)!}{n!*n}=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{\frac{n!}{n}}{n!}=\frac{1}{n}

Mais je ne vois pas où est l'erreur ?

Y'a-t-il un rapport avec le fait que 0! =1 par convention ?

Posté par
LeHiboure : Factorielle 29-07-20 à 23:45

Bonjour,

Je suppose que au numérateur c'est en réalité n! = n*(n-1)!
Et au dénominateur, ça devrait être (n+1)! = (n+1)*n!

Posté par
yns91re : Factorielle 29-07-20 à 23:46

Non je suis allé trop vite,
Dans la première égalité on a :
\frac{n!}{(n+1)!}

Posté par
LeHiboure : Factorielle 29-07-20 à 23:46

Et en fait, tu n'as pas besoin de factoriser le numérateur, tu gardes le n!

Posté par
yns91re : Factorielle 29-07-20 à 23:47

Excusez-moi ^^

Posté par
yns91re : Factorielle 29-07-20 à 23:49

LeHibou j'ai corrigé l'erreur ! Peux tu vérifier mon caclul ?

Posté par
LeHiboure : Factorielle 29-07-20 à 23:49

Ben là c'est évident :

\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{n!(n+1)} = \frac{1}{n+1}

Posté par
yns91re : Factorielle 29-07-20 à 23:50

Mais quelle était l'erreur dans mon calcul ?

Posté par
yns91re : Factorielle 29-07-20 à 23:53

Ah j'ai trouvé

n!=( n-1 ) ! * n

Donc (n+1)! = n! * (n+1)

Et pas (n+1)!= n! * n

Merci bonne soirée

Posté par
LeHiboure : Factorielle 30-07-20 à 00:10

Bonne soirée à toi aussi !

Posté par
carpediemre : Factorielle 30-07-20 à 11:23

salut

je ne vois pas le rapport entre les deux phrases de

Citation :
J'étudie la limite en +infini \dfrac{x^n}{n!}.

En essayant de simplifier \dfrac{n}{(n+1)!}
....

Posté par
carpediemre : Factorielle 30-07-20 à 11:24

et la limite en fonction de quelle variable ?

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 12:22

n (suite u_n=....)

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 13:45

carpediem il y'a un problème?

Posté par
carpediemre : Factorielle 30-07-20 à 13:51

je ne comprends pas qu'il n'y ait plus de x ensuite ...

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 14:01

j'étudie la limite en +inf  de \frac{x^n}{n!} pour tout réel x

De ce fait, j'étudie la suite définie paru_n=\frac{|x|^n}{n!} pour tout entier naturel n et pour tout réel x non nul.

J'ai calculé le quotient \frac{u_{n+1}}{u_n} et je trouve \frac{|x|}{n+1}

(sauf erreur)

Posté par
carpediemre : Factorielle 30-07-20 à 15:21

le cas x = 0 est évidemment trivial ...

mais pour x <> 0 il ne faut pas l'oublier et ne pas sauter certaines étapes fondamentales dans le cheminement de ton raisonnement ...

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 15:44

Oui exactement, à la fin je trouve une limite nulle

Vu que \frac{x}{n+1} tend vers 0 lorsque n tend vers +infini

Il existe un rang N à partir du quel  u_n+1/u_n <= p
p étant un nombre compris dans ]0;1[.

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 15:44

C'est fini

Posté par
Ciramorre : Factorielle 30-07-20 à 20:20

Bonsoir yns91
D'après tes calculs, tu viens de démontrer que la suite u_n est strictement décroissante à partir d'un certain rang, et, comme ces termes sont tous positifs, elle est donc minorée par 0, ce qui te permet donc d'affirmer qu'elle converge.
Seulement, je ne vois pas en quoi cela prouve qu'elle converge nécessairement vers 0 (tu n'as pas montré que 0 est la borne inférieur de la suite, c'est-à-dire que le plus grand minorant de cette suite est bien 0). Pourrais-tu m'éclairer sur une étape de ton raisonnement que j'ai peut-être loupé et qui prouve que la suite converge bien vers 0 quand n tend vers + s'il-te-plaît ?
Merci d'avance et bonne soirée

Posté par
Ciramorre : Factorielle 30-07-20 à 21:40

Je vais te montrer ma méthode, mais par contre je ne crois pas qu'elle soit de niveau première (d'un autre côté, je ne vois pas comment faire autrement):

Tu as montré qu'il existe un rang N tel que pour tout n>N, \frac{u_{n+1}}{u_n}<p , où p est compris dans ]0;1[.

Or u_n=u_1\prod_{k=1}^{n-1} \frac{u_{n+1}}{u_n}<u_1\prod_{k=1}^{n-1} p=u_1p^{n-1}
Or p étant compris entre 0 et 1 et u_1 étant une constante par rapport à n, cette dernière quantité tend vers 0 quand n tend vers +, et la suite u_n et minorée par 0, donc d'après le théorème des gendarmes, \lim_{n\to +\infty} u_n=0 \\
Bonne soirée

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 23:02

Salut Ciramor

J'ai très bien compris ta méthode et si j'ai bien compris tu n'as pas compris comment je montre que 0 est une borne inférieure

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 23:05

Alors il y'a un théorème d'analyse qui dit que lorsqu'on a une suite strictement positive (u_n) et un réel k appartenant à l'intervalle ]0;1[, alors si il existe un rang N tel que \frac{u_{n+1}}{u_n}<k (superieur ou égal) alors la limite de (u_n) lorsque n tend vers + l'infini est 0

Posté par
yns91re : Factorielle 30-07-20 à 23:13

Démonstration :

Pour tout n > N, on a d'après l'inégalité precedente (u_{n+1}) < k*u_n soit \frac{u_{n+1}}{k^{n+1}}<\frac{u_n}{k^n}.

La suite (un/k^n) pour tout n >N est décroissante et positive, cela implique qu'elle est bornée.

Comme k^n est compris dans ]0,1[ alors la limite de k^n lorsque  n tend vers + infini est 0.

Vu que le produit d'une suite bornée par une suite convergente de limite nulle possède une limite nulle, on conclue que lim u(n) quand n tend vers + infini =0

Posté par
Ciramorre : Factorielle 30-07-20 à 23:17

Pardon, j'ai oublié de scinder le produit:

\large u_n=u_1\prod_{k=1}^{N} \frac{u_{k+1}}{u_k}\prod_{k=N+1}^{n-1} \frac{u_{k+1}}{u_k}<u_1\prod_{k=1}^{N} \frac{u_{k+1}}{u_k}\prod_{k=N+1}^{n-1} p=u_1\prod_{k=1}^{N} (\frac{u_{k+1}}{u_k})*p^{n-N-1}
Or p étant compris strictement entre 0 et 1, on a \normalsize \lim_{n\to +\infty} p^{n-N-1}=0, et \large u_1\prod_{k=1}^{N} (\frac{u_{k+1}}{u_k}) étant une constante par rapport à n, la quantité \large u_1\prod_{k=1}^{N} (\frac{u_{k+1}}{u_k})*p^{n-N-1} tend vers 0 quand n tend vers +, et la suite \normalsize u_n et minorée par 0, donc \large 0<u_n<u_1\prod_{k=1}^{N} (\frac{u_{k+1}}{u_k})*p^{n-N-1} n0, d'où on déduit d'après le théorème des gendarmes, \normalsize \lim_{n\to +\infty} u_n=0 \\
Bonne soirée

Posté par
Ciramorre : Factorielle 30-07-20 à 23:28

Ah, d'accord, je ne connaissais pas cette démonstration, merci de m'en avoir fais part . Dans ce cas, il n'y a pas de soucis, ton raisonnement est nickel (désolé, je n'avais pas vu tes messages avant de poster mon message précédent).
Bonne soirée à toi

Posté par
mousse42re : Factorielle 31-07-20 à 00:17

Salut
On peut utiliser la propriété suivante

(\forall a,b\in \R)(0<a<b\implies \exists n\in \N, na>b) (\R est archimédien)

On suppose que x>1, et on choisit \varepsilon \in ]0,1[

Il existe donc n_0\in\N tel que x<n_0\varepsilon

Ainsi pour tout n>n_0

0<\dfrac{x}{n}<\varepsilon\iff 0<\dfrac{x^n}{n(n-1)!}<\dfrac{\varepsilon^n}{(n-1)!}\to 0

Posté par
mousse42re : Factorielle 31-07-20 à 00:24

je viens d'écrire une énormité j'ai l'impression

Posté par
yns91re : Factorielle 31-07-20 à 00:26

Comment on montre que la dernière inégalité tend vers 0 ? mousse42

Ciramor Bonne soirée, bon courage pour la CPGE.

Posté par
yns91re : Factorielle 31-07-20 à 00:27

mousse42

Quelle énormité ?

Posté par
mousse42re : Factorielle 31-07-20 à 00:28

faut oublier ce que je viens de noter.

Posté par
yns91re : Factorielle 31-07-20 à 00:29

Pourquoi ?

Posté par
mousse42re : Factorielle 31-07-20 à 00:30

cette équivalence est fausse :

Citation :
0<\dfrac{x}{n}<\varepsilon\iff 0<\dfrac{x^n}{n(n-1)!}<\dfrac{\varepsilon^n}{(n-1)!}\to 0

Posté par
yns91re : Factorielle 31-07-20 à 00:31

oh dommage, tu as une autre solution ? Vu que aujourd'hui j'ai appris ce qu'était un ensemble archimédien je trouvais cette démo assez cool (sans comprendre la dernière inégalité)

Posté par
mousse42re : Factorielle 31-07-20 à 00:36

j'essayais de chercher plus simple , mais ce que tu as fait convient parfaitement

Posté par
Ciramorre : Factorielle 01-08-20 à 21:35

yns91 @ 31-07-2020 à 00:26


Ciramor Bonne soirée, bon courage pour la CPGE.


Merci, bon  courage pour préparer le concours général et bonne soirée également


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