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factorisation polynôme degré 4

Posté par
Riley
14-06-15 à 23:57

Bonjour à tous, j'ai vu que ce sujet à été mainte fois traité sur différents forum, mais je dois avouer que je n'ai pas encore très bien compris.
J'ai un polynôme de degré 4 à factoriser.
x^4+x^3-13x^2-x+12
La racine est 1 donc:
(x-1)(x^3+x^2-13x+12)
à partir d'ici je suis plus trop sur de ce que je dois faire.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
jeveuxbientaider
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 00:09

BOnjour,

UNE  racine est 1

D'autres racines sont -1 et 3

Posté par
jeveuxbientaider
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 00:36

Chercher les racines évidentes est une bonne piste !

Mais il ne faut  pas s'arrêter à la première !

Posté par
Pirho
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 09:48

Bonjour,

Attention, tu t'es trompé (x^4+x^3-13x^2-x+12)/(x-1) n'est pas égal à x^3+x^2-13x+12

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 10:58

Merci pour vos réponses et je me demandais ne serait'il pas plus facile de faire delta ?

Posté par
Pirho
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:07

Pour calculer le delta tu dois d'abord te ramener à une équation du second degré. Donc il te faut d'abord corriger ton calcul et ensuite trouver une autre racine.  

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:09


non, je suis désolé j'ai dit une bêtise delta s'utilise avec la forme ax^2+bx+c, mais après avoir trouvé les racines évidentes il faut que je fasse quoi?

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:10

Désolé j'etais entrain d'écrire quand tu as posté du coup j'avais pas vu ta réponse.

Posté par
Pirho
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:12

Tu n'as plus rien à faire tu as juste à écrire ta réponse sous la forme (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)

Posté par
mathafou Moderateur
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:26

Bonjour,

en fait 3 est "un peu moins évidente" comme racine (parce que les calculs de 3^4 etc beurk ... ne se font pas de tête)

par contre 1 et -1 sont toutes deux des racines évidentes (de tête)

donc on peut factoriser par (x-1)(x+1)
et le facteur qui reste est du second degré

f(x) = (x-1)(x+1)(ax² + bx + c) (reste à calculer a, b, c sans se tromper)

et pour terminer la factorisation de ce ax² + bx + c, là oui on peut utiliser delta etc ...

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:29

Donc nous avons 3 racines 1, -3, 3 par contre j'ai un peu de mal à trouver la 4 eme

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:35

Ok d'accord merci, j'ai recalculé -1 et en effet égale à 0.
je vais essayer de calculer a, b, c.

Posté par
mathafou Moderateur
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 11:58

sachant que 1 est racine, 3 et -3 ne sont "de façon évidente" (= sans presque aucun calcul) pas toutes deux racines
(parce que 1*3*3 = 9 ne divise pas 12)

dans la pratique, les racines évidentes sont à chercher parmi :

0 (factorisation évidente par x)
+ 1 ou - 1 (le plus fréquent, les essayer toutes deux systématiquement)
+2 ou -2 exceptionnellement

et toutes les autres "racines évidentes", par exemple des 3 ou 4 ou plus, sont généralement explicitement citées dans l'énoncé lui-même

par exemple quand l'énoncé dit :
montrer que 3 est solution de f(x) = 0
en déduire une factorisation etc ...

De façon générale, on peut montrer le théorème suivant qui permet de chercher les racines dites "évidentes" en diminuant les tâtonnements :

si p/q est une racine rationnelle d'un polynome P(x) = ax^n + ... + b, à coefficients tous dans ,
alors p divise b et q divise a.

ici les racines évidentes sont donc à chercher parmi les nombres entiers (car a = 1 implique q = 1) diviseurs dans de 12
et si ces racines sont toutes rationnelles elles sont toutes entières, donc des nombres entiers dont le produit est 12.


attention à ne pas confondre racine effective et "peut être une racine"
les racines sont à chercher parmi les diviseurs de ...
ça ne veut pas dire que ce sont ces diviseurs.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:03

P(x) = x^4+x^3-13x^2-x+12

Comme le coeff de x^4 est 1 et que tous les coeff des différentes puissances de x sont entiers, s'il y a des solutions dans Z, elles sont obligatoirement un diviseur (dans Z) du coefficient en x^0 (donc ici de 12)

Les seuls candidats comme solutions entières sont donc : 1 ; 12 ; 2 ; 6 ; 3 ; 4 (et les mêmes avec le signe -)

Il suffit donc de caculer P(1) ; P(-1) ....

On trouve alors que P(-4) = 0 ; P(3) = 0 ; P(-1) = 0 et P(1) = 0

Et donc x^4+x^3-13x^2-x+12 = (x+4).(x-3).(x+1).(x-1)
-----
Sauf distraction.

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:05

j'y arrive pas, comment je trouve les coefficients par calcul, désoler si je demande autant de détails, mais ça remonte vraiment à très très loin.

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:13

OK je commence à comprendre.
J'ai très bien compris la partie sur la recherche des coefficients. Je vais revoir la partie sur les racines car ce n'est pas encore très clair.
Merci de toutes ces explications.

Posté par
carpediem
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:14

salut

les racines entières divisent 12

une fois trouvées 1 et -1 alors

x^4 + x^3 - 13x^- x + 12 = x^4 - 1 + x(x^2 - 1) - 13(x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1 + x - 13) = (x^2 - 1)(x^2 + x - 12)

le produit des racines et la somme des racines du trinome sont -12 et 1 ... seules 4 et 3 et leur opposés peuvent convenir ... et on trouve effectivement (x - 3)(x + 4)

...

Posté par
carpediem
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:16

la somme des racines est -1 ....

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:20

C'est bon j'ai finalement compris

Merci à vous tous encore une fois

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:39

Dernière ,petite question une fois obtenu ceci :
x^4+x^3-13x^2-x+12 = (x+4).(x-3).(x+1).(x-1)
il y a rien d'autre à faire?

Posté par
mathafou Moderateur
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:45

@ J-P :

L'application systématique de la recherche de toutes les racines de cette façon conduit à des calculs plus compliqués globalement
que en s'arrêtant aux seules racines vraiment "évidentes" qui peuvent se calculer réellement de tête : 1 et -1
Le calcul de P(3) de tête est de nos jours (absence d'enseignement et de pratique du calcul mental) hors de portée d'un élève moyen, qui doit donc écrire explicitement le calcul de P(3) "sur la feuille" (de brouillon)
surtout qu'il a déja dû le faire pour rien avec P(2) et P(-2) etc

alors que dans la factorisation ensuite avec P(x) = (x² - 1)(ax²+bx+c), trouver a,b,c peut se faire de tête :
les valeurs de a et c sont évidentes sans aucun calcul, et il reste juste à trouver b qui est évident en considérant le terme en x3 par exemple, vu qu'il n'est obtenu que en multipliant le x² par bx

comme Carpediem a donné sa méthode je donne la mienne :

le coefficient de x4 = x2*ax2 est 1, donc "sans calcul" a = 1
de même pour c le terme constant est -1*c = 12 donc c = -12
quant à b le coefficient de x3 est x3 = x2*bx donc b = 1
et la factorisation "instantanée" de P(x) = x4 + x3 - 13x2 - x + 12 = (x2-1)(x2+x-12)

donc en quelques secondes c'est fait
et il reste juste à trouver les racines d'un trinome qui se calculent rapidement, vu que le delta est facile à calculer, même presque de tête
delta = 1 - 4*(-12) = 1 + 48 = 49 = 7²
et donc les deux racines (-17)/2

plus rapide que d'essayer de deviner que les racines pourraient peut être être entières (dans ) et de deviner quels nombres entiers relatifs ont pour somme -1 et pour produit -12

cette méthode s'avère donc bien plus efficace en temps total passé à calculer des trucs que la recherche systématique avec tous les diviseurs de 12 !

la recherche de l'économie maximale en temps de calculs effectués est importante aux examens !

après c'est sûr qu'on peut avec pas mal de sens de l'observation "voir" les racines 3 et -4 plus ou moins directement et donc écrire directement la factorisation complète.

Posté par
mathafou Moderateur
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 12:46


Citation :
il y a rien d'autre à faire?
si : redévelopper pour vérifier qu'on n'a pas fait une erreur de calcul quelque part

sinon , oui c'est fini.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 13:02

Citation :
"L'application systématique de la recherche de toutes les racines de cette façon conduit à des calculs plus compliqués globalement
que en s'arrêtant aux seules racines vraiment "évidentes" qui peuvent se calculer réellement de tête : 1 et -1"


Pas forcément, du moins si on a appris à maîtriser le calcul mental, on "sent" facilement les solutions possibles.
Mais bien sûr lorsqu'on ne sait même plus utiliser des parenthèses correctement, le reste est dans le même état de déglingue, on n'est plus non plus capable de "sentir" les solutions probables.

Posté par
lafol Moderateur
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 15:37

bonjour

x^4+x^3-13x^2-x+12 = x^4 + x^3 - x^2 -12 x^2 -x +12 = (x^2-1)(x^2+x -12)=(x^2-1)(x-3)(x+4)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+4)

rien qu'en ouvrant un peu les yeux, sans même chercher de racine évidente

Posté par
mathafou Moderateur
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 15:46

Voir le "facteur évident" x² - 1 est il franchement fondamentalement différent de voir les racines évidentes +1 et -1 ?

(on "voit" d'ailleurs bien mieux ce facteur évident "après coup" quand on connait les racines évidentes correspondantes, mébon, chacun sa "vision")

Posté par
lafol Moderateur
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 15:48

perso c'est le -13 et le 12 qui m'ont tiré l'oeil, du coup j'ai commencé à couper le 13 en deux, pour voir si ça menait quelque part, et là le facteur x²-1 saute presque à la figure

Posté par
carpediem
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 17:09

vu les nombres il est clair qu'il suffisait de se rappeler que 13 = 12 + 1 .....

Posté par
Riley
re : factorisation polynôme degré 4 15-06-15 à 20:17

Ok merci encore.
Bonne soirée



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