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Famille de cercles

Posté par
bechelly
14-11-22 à 16:39

Bonsoir, j'ai besoin d'aide svp.
On donne la famille de cercles (Cm) d'équation: x²+y²-(m-2)x + 2my -1=0 où m est un parametre réel.
1) montrer que ces cercles passent par deux points fixes à determiner.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Famille de cercles 14-11-22 à 16:49

Bonjour, tu as plusieurs façons de faire :

- tu peux mettre ton expression sous la forme Am + B = 0 (avec A et B fonction de x et y) puis dire que pour que ça soit nul quelque soit m il faut que A= 0 et B=0 puis résoudre le système en x et y.

- tu peux prendre deux cercles particuliers (en faisant par exemple m= 0 puis m=2) trouver leur intersection, puis montrer qu'en fait les deux points trouvés sont sur tous les cercles (en remplaçant les coordonnées dans l'équation générale et en montrant qu'elle annulent l'équation des cercles quelque soit m).

Posté par
bechelly
re : Famille de cercles 14-11-22 à 17:07

J'ai pris m=0 et m=1 et j'ai résolu le système trouvé. J'ai eu x=-y et je n'ai pas su comment continuer

Posté par
bechelly
re : Famille de cercles 14-11-22 à 17:11

Désolé, x=-2y

Posté par
mathafou Moderateur
re : Famille de cercles 14-11-22 à 17:41

Bonjour,
mauvaise méthodologie de résolution en général de systèmes

la bonne c'est :

- départ : système de deux équations à deux inconnues
- manipulation donnant un système équivalent de toujours deux équations à toujours deux inconnues
etc .
au final toujours et encore un système équivalent de toujours deux équations
qui sont :

\left\{\begin{array}l x=valeur
 \\ y = valeur\end{array}\right.
 \\
on ne fait jamais "disparaitre" une équation...
à chaque étape il y a toujours deux équations.

\left\{\begin{array}l x^2 +y^2+2x - 1 =0 \quad [1]
 \\ x^2 + y^2 + x +2y - 1 = 0 \quad [2] \end{array}\right.
 \\ \Leftrightarrow 
 \\ \left\{\begin{array}l {\red x^2 +y^2+2x - 1 =0 \quad [1]}
 \\ x-2y=0 \quad [1]-[2]\end{array}\right.
 \\ \Leftrightarrow 
 \\
...
comment continuer ?
par substitution de x dans [1] :

\Leftrightarrow 
 \\ \left\{\begin{array}l \text{équation en y seulement} \quad [1']}
 \\ {\red x-2y=0 \quad [1]-[2]}\end{array}\right.
 \\ \Leftrightarrow
etc

Posté par
bechelly
re : Famille de cercles 14-11-22 à 18:41

Merci beaucoup!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Famille de cercles 14-11-22 à 18:57

que trouves tu au final ?

Posté par
bechelly
re : Famille de cercles 15-11-22 à 18:14

mathafou @ 14-11-2022 à 18:57

que trouves tu au final ?
Bonsoir de nouveau désolé pour le retard. J'ai utilisé une autre méthode et j'ai eu A(-2;-1) et B(2/5;1/5)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Famille de cercles 15-11-22 à 18:39

OK,
tu remarqueras que les deux méthodes donnent à un moment donné de la résolution le même système :

\left\{\begin{array}l x^2 +y^2+2x - 1 =0
 \\ x-2y=0\end{array}\right.

• à partir des intersections des cercles m=0 et m=1, à la deuxième étape dans mon message du 14-11-22 à 17:41

• ou à partir des coefficients de l'équation générale écrite sous la forme A + Bm = 0
vu que A = x^2 +y^2+2x - 1 = 0   est la 1ère équation de ce même système
et B = x-2y = 0   la deuxième équation de ce même système

Posté par
bechelly
re : Famille de cercles 16-11-22 à 06:24

Effectivement j'ai fais la méthode de Am + B=0
Cela veut dire que A=0 et B=0
Merci pour votre temps😁



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