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familles de cercles

Posté par rmax505 (invité) 20-12-05 à 20:20

bonjour cette exercice est difficile est-ce que quelqu'un pourrait m'aider merci d'avance
m désigne un nombre réel
on désigne par Cm l'ensemble des pints M(x;y) vérifiant :
x²+y²-2mx+2(1-m)y-4=0
1. Montrer que , pour toute valeur de m , Cm est un cercle
2. Determiner les points d'intersection des cercles C0 et C1
3. Montrer que tous les cercles de la famille passent par deux point fixes A et B
4. En déduire que leurs centres sont alignés

Posté par drioui (invité)re : familles de cercles 20-12-05 à 20:37

1)x²+y²-2mx+2(1-m)y-4=0
(x-m)²-m²+(y+1-m)²-(1-m)²-4=0
'x-m)²+(y+1-m)²=m²+(1-m)²+4 et m²+(1-m)²+4 >0(somme de 3 carres)
donc Cm est un cercle pour toute valeur de m de centre A(m;-1+m) de rayon
rac(m²+(1-m)²+4)

Posté par minotaure (invité)re : familles de cercles 20-12-05 à 20:44

salut
pour le 1 il faut arriver a (x-a)²+(y-b)²=R, R >=0
ce qui nous permettra de dire que Cm est un cercle de centre I(a,b) et de rayon VR.

reste a chercher a b et r.

or x²+y²-2mx+2*(1-m)y-4=[x²-2mx]+[y²+2*(1-m)y]-4=[(x-m)²-m²]+[(y+(1-m))²-(1-m)²]-4=0
donc on aboutit a :
x²+y²-2mx+2*(1-m)y-4=0 <=> (x-m)²+(y+(1-m)²)²=4+(1-m)²+m².

donc Cm est un cercle.

2.C0 : x²+y²+2y-4=0
C1 : x²+y²-2x-4=0

on resoud le systeme suivant :
x²+y²+2y-4=0
x²+y²-2x-4=0

on a x=-y et 2x²-2x-4=0
donc C0 et C1 on pour intersection A(-1,1) et B(2,-2)
3.la c'est de la logique.
on verifie avant tout que les coordonnees de A et de B verifient l'equation :
x²+y²-2mx+2(1-m)y-4=0 et ce quelque soit m.

donc tous les cercles de la famille ont au moins deux points d'intersection qui sont A et B.

or C0 et C1 n'ont que deux points d'intersection (d'apres question precedente)
donc la famille a au plus deux points d'intersection.
on les a trouves ce sont A et B. (c'est pas redige mais voila l'idee a toi de le faire).
4.soit Om le centre du cercle Cm.
d'apres 3 on a OmA = OmB => Om est sur la mediatrice de [AB] et ce quelque soit m.
les centres sont donc alignes.

a verifier tout ca...
a+

Posté par drioui (invité)re : familles de cercles 20-12-05 à 20:45

2)C0:  x²+y²+2y-4=0   (m=0)
  C1:  x²+y²-2x-4=0    (m=1)
M(x;y) appartient à C0 et à C1 <==> x²+y²+2y-4=x²+y²-2x-4=0 <==>2y-2x=0
<==>x=y
en remplacant y par x dans l'une des equation de C0 ou C1 on determine les poits d'intersection

Posté par drioui (invité)re : familles de cercles 20-12-05 à 20:46

pardon x=-y

Posté par
kaiser Moderateur
re : familles de cercles 20-12-05 à 20:47

Bonsoir rmax505

1) x^{2}-2mx=(x-m)^{2}-m^{2}
y^{2}+2(1-m)=(y+1-m)^{2}-(1-m)^{2}
On en déduit que x^{2}+y^{2}-2mx+2(1-m)-4=(x-m)^{2}-m^{2}+(y+1-m)^{2}-(1-m)^{2}-4=(x-m)^{2}+(y+1-m)^{2}-(2m^{2}-2m+5)
Ainsi, l'équation du départ devient (x-m)^{2}+(y+1-m)^{2}=(2m^{2}-2m+5)

Cette équation est bien l'équation d'un cercle si et seulement si le terme de gauche est positif (il faudra alors étudier le signe du trinôme).
Dans ce cas, le centre du cercle est le point de coordonnées (m,m-1) et son rayon vaut \sqrt{2m^{2}-2m+5}
2) Il suffit d'écrire les deux équations de cercle et de résoudre le système coorespondant.

Kaiser

Posté par rmax505 (invité)re 20-12-05 à 21:08

désolé mais vous avez oublié de mettre en facteur y a 2(1-m) donc je ne sais pas si le résultat trouvé est toujours bon ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : familles de cercles 20-12-05 à 21:12

Oui, en effet tu as raison mais ce n'était qu'un oubli : le résultat reste vrai.

Posté par rmax505 (invité)famile de cercle 21-12-05 à 15:57

M désigne un nombre réel
on désigne par Cm l'ensemble des points M(x;y) vérifiant :
x²+y²+2mx+2(1-m)y-4=0
1. Montrer que pour toute valeur de m , Cm est un cercle
2. Déterminer les points d'intersections des cercles C0 et C1
3. Montrer que tous les cercles de la famille passent paar deux points fixes A et B
4. En déduire que tous les centres sont alignés


*** message déplacé ***

Posté par rmax505 (invité)un pb 21-12-05 à 16:06

est ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre le système
x²+y²+2y-4=0
x²+y²+2x-4=0
et trouver les points d'intersections de ces deux fonctions


*** message déplacé ***

Posté par philoux (invité)re : un pb 21-12-05 à 16:08

bonjour d'abord

par soustraction y=x =>2x²+2x-4=2(x-1)(x+2)=0

x=y=1 ou x=y=-2

Vérifie...

Philoux

*** message déplacé ***



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