Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide svp
Je dois étudier les variations de f et résoudre f(x)=x
f définie par f(x)=x^2-x*ln(x)
Je trouve f'(x)=2x-ln(x)-1
Pour avoir le signe de f'(x) dois-je factoriser ou?
Bonsoir, non pas factoriser, ça ne servirait pas à grand chose.
Mais étudier à nouveau la dérivée en la dérivant. ça donne 2-1/x et le signe est facile à étudier. On voit que c'est négatif avant 1/2 et positif après. 1/2 est donc le minimum de la fonction f'(x)=2x-ln(x)-1, or f '(1/2)=ln(2)>0 donc tu en déduis que la dérivée est toujours positive et donc que la fonction initiale est toujours croissante.
Merci Glapion , donc f''(x) est du signe de 2-1/2
2-1/2=0x=0
Je fais le tableau de variation de 0 à +oo avec:
x 1/2
f'' - 0 +
f' croissante
1/2 est le minimum de la fonction f'(x)=2x-ln(x)-1, or f '(1/2)=ln(2)>0 donc la dérivée est positive
Mais je cherche les variations de la fonction
(Et Yzz non il n'y avait rien avant)
f''(x) est du signe de 2-1/x plutôt.
une fois que tu as le signe de f '(x) tu as les variations de la fonction.
x(x-lnx-1)=0 donc tu as déjà une solution x=0
reste à résoudre x - ln x -1 = 0
Elle ne peut pas être résolue directement donc il faut ruser un peu.
Il faut étudier la fonction f(x)=x - ln x -1 la dérivée vaut 1-1/x = (x-1)/x , on étudie son signe, c'est le même signe que le trinôme x(x-1) qui est positif à l'extérieur des racines (0 et 1) et négatif entre. donc négatif entre 0 et 1 et positif après.
La fonction est donc décroissante puis croissante avec un minimum égal pour x= 1.
Pour x=1 elle vaut 1- ln 1 -1 = 0 et donc la seule valeur qui l'annule ne pourra être que x=1
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