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Fonction convexe
Bonsoir j'ai un exo sur les fonctions convexes que je n'arrive pas à faire c'est une notion nouvelle pour moi merci de bien vouloir m'aider
On donne les définitions suivantes :
1) Une partie non vide E du plan (P) est dite convexe lorsque :
si A et B sont deux points quelconques de E, alors [AB] ⊂ E.
2) Epigraphe d'une fonction : f étant une fonction numérique d'une variable réelle, on appelle épigraphe
de f, l'ensemble des points M(x,y) du plan (P) muni d'un repère orthonormal (O, j,i), tels que y ≥ f(x), et on note Ep(f) ={M(x,y)∈(P)/ y ≥ f(x)}.
3) Fonction convexe : Une fonction f de ℝ vers ℝ est dite convexe lorsque Ep(f) est une partie convexe
du plan (P) ; f est concave lorsque -f est convexe.
On se propose de montrer que :
[f convexe] ⇔ [∀(x1,x2) ∈ Df x Df, ∀(λ,µ) ∈ ℝ
+
x ℝ
+
, λ+µ = 1 ⇒ f(λx1+µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2)]
1) On suppose f convexe et on considère deux points M1(x1,f(x1)) et M2(x2,f (x2)) appartenant à la
courbe (Cf).
a) Montrer que [M1M2] ⊂ Ep (f).
b) Soit M le barycentre de {(M1,λ) ; (M2,1-λ)}, λ ∈ [0,1] .
Montrer que M ∈ Ep(f) et en déduire que f(λ x1 + (1-λ) x2) ≤ λ f(x1) + (1-λ) f(x2)
En déduire que si f est convexe, ∀ x1 ∈ Df ; ∀ x2 ∈ Df, ∀ λ ≥ 0, ∀ µ ≥ 0, avec λ + µ = 1, alors f(λx1 + µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2)
Bonjour
En effet cet exercice introduit beaucoup de notions nouvelles d'un coup, mais on peut s'en sortir : il suffit de bien utiliser les définitions et les hypothèses
Une fonction convexe (au sens convexité d'une fonction) est une fonction dont l'épigraphe est convexe (au sens convexité d'un ensemble)
Que signifie qu'un ensemble E est convexe, d'après l'énoncé ? Cela signifie que pour tout couple de points de E, alors le segment formé par ces deux points est inclus dans l'ensemble E
La question 1)a) demande de vérifier que le segment formé par les points M1 et M2 appartient à Ep(f). Mais comme f (fonction) est convexe, qu'est-ce qu'on sait sur Ep(f) (ensemble) ?
rectification de ma dernière phrase :
La question 1)a) demande de vérifier que le segment formé par les points M1 et M2 est inclus dans Ep(f). Mais comme f (fonction) est convexe, qu'est-ce qu'on sait sur Ep(f) (ensemble) ?
Oui. Donc Ep(f) est convexe.
Ce qu'on te demande de montrer ( ) ressemble beaucoup à la définition de la convexité de l'ensemble Ep(f).
Il suffirait de montrer que M1 et M2 appartiennent à Ep(f). Est-ce le cas ?
Pourquoi M1 et M2 appartiennent à Ep(f) ? Et pourquoi cela implique que le segment [M1M2] est inclus dans Ep(f) ?
A vrai dire je ne sais pas trop
M1 et M2 appartiennent à la courbe or l epigraphe c est la partie supérieure de la courbe y compris la courbe elle même je pense donc M1 et M2 appartiennent à Ep(f)
Oui, c'est pour cette raison. Mais on peut le montrer. D'après l'énoncé, on a :
Forcément, la courbe est incluse dans Ep(f). Car si appartient à la courbe, alors on a
donc
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