Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Fonction convexe

Posté par
Amar252
11-04-21 à 22:49

Bonsoir j'ai un exo sur les fonctions convexes que je n'arrive pas à faire c'est une notion nouvelle pour moi merci de bien vouloir m'aider

On donne les définitions suivantes :
1) Une partie non vide E du plan (P) est dite convexe lorsque :
si A et B sont deux points quelconques de E, alors [AB] ⊂ E.
2) Epigraphe d'une fonction : f étant une fonction numérique d'une variable réelle, on appelle épigraphe
de f, l'ensemble des points M(x,y) du plan (P) muni d'un repère orthonormal (O, j,i), tels que  y ≥ f(x), et on note Ep(f) ={M(x,y)∈(P)/ y ≥ f(x)}.
3) Fonction convexe : Une fonction f de ℝ vers ℝ est dite convexe lorsque Ep(f) est une partie convexe
du plan (P) ; f est concave lorsque -f est convexe.
On se propose de montrer que :
[f convexe] ⇔ [∀(x1,x2) ∈ Df x Df, ∀(λ,µ) ∈ ℝ
+
x ℝ
+
, λ+µ = 1 ⇒ f(λx1+µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2)]
1) On suppose f convexe et on considère deux points M1(x1,f(x1)) et M2(x2,f (x2)) appartenant à la
courbe (Cf).
a) Montrer que [M1M2] ⊂ Ep (f).
b) Soit M le barycentre de {(M1,λ) ; (M2,1-λ)}, λ ∈ [0,1] .
Montrer que M ∈ Ep(f) et en déduire que f(λ x1 + (1-λ) x2) ≤ λ f(x1) + (1-λ) f(x2)
En déduire que si f est convexe, ∀ x1 ∈ Df ; ∀ x2 ∈ Df, ∀ λ ≥ 0, ∀ µ ≥ 0, avec λ + µ = 1, alors f(λx1 + µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2)

Posté par
Zormuche
re : Fonction convexe 12-04-21 à 01:08

Bonjour
En effet cet exercice introduit beaucoup de notions nouvelles d'un coup, mais on peut s'en sortir : il suffit de bien utiliser les définitions et les hypothèses

Une fonction convexe (au sens convexité d'une fonction) est une fonction dont l'épigraphe est convexe (au sens convexité d'un ensemble)

Que signifie qu'un ensemble E est convexe, d'après l'énoncé ? Cela signifie que pour tout couple de points de E, alors le segment formé par ces deux points est inclus dans l'ensemble E

La question 1)a) demande de vérifier que le segment formé par les points M1 et M2 appartient à Ep(f). Mais comme f (fonction) est convexe, qu'est-ce qu'on sait sur Ep(f) (ensemble) ?

Posté par
Zormuche
re : Fonction convexe 12-04-21 à 01:08

rectification de ma dernière phrase :

La question 1)a) demande de vérifier que le segment formé par les points M1 et M2 est inclus dans Ep(f). Mais comme f (fonction) est convexe, qu'est-ce qu'on sait sur Ep(f) (ensemble) ?

Posté par
Amar252
re : Fonction convexe 12-04-21 à 08:29

f convexe veut dire que ep(f) convexe aussi

Posté par
Zormuche
re : Fonction convexe 12-04-21 à 15:08

Oui. Donc Ep(f) est convexe.
Ce qu'on te demande de montrer ( [M1M2] \subset Ep(f) ) ressemble beaucoup à la définition de la convexité de l'ensemble Ep(f).
Il suffirait de montrer que M1 et M2 appartiennent à Ep(f). Est-ce le cas ?

Posté par
Amar252
re : Fonction convexe 12-04-21 à 15:13

Oui ça appartient à ep(f) nan

Posté par
Zormuche
re : Fonction convexe 12-04-21 à 15:14

Pourquoi M1 et M2 appartiennent à Ep(f) ? Et pourquoi cela implique que le segment [M1M2] est inclus dans Ep(f) ?

Posté par
Amar252
re : Fonction convexe 12-04-21 à 16:59

A vrai dire je ne  sais pas trop
M1 et M2 appartiennent à la courbe  or l epigraphe c est la partie supérieure de la courbe y compris la courbe elle même  je pense donc M1 et M2 appartiennent à Ep(f)

Posté par
Zormuche
re : Fonction convexe 12-04-21 à 20:39

Oui, c'est pour cette raison. Mais on peut le montrer. D'après l'énoncé, on a :

Ep(f) = \{(x,y)\in\R^2,~ y\ge f(x)\}

Forcément, la courbe est incluse dans Ep(f). Car si  (x,y)  appartient à la courbe, alors on a  y=f(x)  donc  y\ge f(x)

Posté par
Amar252
re : Fonction convexe 12-04-21 à 21:16

Je ne comprends pas votre dernière phrase vous dites y=f(x) ensuite y > f(x)

Posté par
Zormuche
re : Fonction convexe 12-04-21 à 23:30

Non, j'ai dit  y\ge f(x), c'est différent

Posté par
Amar252
re : Fonction convexe 12-04-21 à 23:34

Oui j'ai compris

Posté par
Zormuche
re : Fonction convexe 13-04-21 à 01:58

On a donc que M1 et M2 appartiennent à Ep(f). Donc que peut-on dire du segment [M1M2] ?

Posté par
Amar252
re : Fonction convexe 13-04-21 à 06:51

Le segment appartient donc à ep(f) puisque ep(f) convexe
Merci beaucoup de m'avoir aider je comprend maintenant



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1460 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !