Bonsoir j'ai un exo sur les fonctions convexes que je n'arrive pas à faire c'est une notion nouvelle pour moi merci de bien vouloir m'aider
On donne les définitions suivantes :
1) Une partie non vide E du plan (P) est dite convexe lorsque :
si A et B sont deux points quelconques de E, alors [AB] ⊂ E.
2) Epigraphe d'une fonction : f étant une fonction numérique d'une variable réelle, on appelle épigraphe
de f, l'ensemble des points M(x,y) du plan (P) muni d'un repère orthonormal (O, j,i), tels que y ≥ f(x), et on note Ep(f) ={M(x,y)∈(P)/ y ≥ f(x)}.
3) Fonction convexe : Une fonction f de ℝ vers ℝ est dite convexe lorsque Ep(f) est une partie convexe
du plan (P) ; f est concave lorsque -f est convexe.
On se propose de montrer que :
[f convexe] ⇔ [∀(x1,x2) ∈ Df x Df, ∀(λ,µ) ∈ ℝ
+
x ℝ
+
, λ+µ = 1 ⇒ f(λx1+µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2)]
1) On suppose f convexe et on considère deux points M1(x1,f(x1)) et M2(x2,f (x2)) appartenant à la
courbe (Cf).
a) Montrer que [M1M2] ⊂ Ep (f).
b) Soit M le barycentre de {(M1,λ) ; (M2,1-λ)}, λ ∈ [0,1] .
Montrer que M ∈ Ep(f) et en déduire que f(λ x1 + (1-λ) x2) ≤ λ f(x1) + (1-λ) f(x2)
En déduire que si f est convexe, ∀ x1 ∈ Df ; ∀ x2 ∈ Df, ∀ λ ≥ 0, ∀ µ ≥ 0, avec λ + µ = 1, alors f(λx1 + µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2)